Komplexefu. (f(x)')*=(f(x)*)' < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mo 22.11.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Die Ableitung einer Komplex konjugierten Funktion bzw. die Komplex konjugierte einer Ableitung!
Ich frage mich gerade ob das
[mm] conj[\bruch{d f(x)}{dx}] [/mm] = [mm] \bruch{d conj[f(x)]}{dx}
[/mm]
immer gilt, weil wir es kürzlich ohne weiteres benützt haben?
Also ich habe mir überlegt: Das Komplex konjugierte hat nur einen Einfluss wenn die Funktion in irgendeiner Weise ein i enthält - also komplexe Anteile hat. Da das i immer als konstanter Faktor vorkommt, wird beim Ableiten nichts weiter geschehen als das z.B. die Kettenregel angewendet werden muss.
z.B:
f(x) = [mm] (i*x)^{2} [/mm] ( = [mm] -x^{2} [/mm] )
f(x)' = i*2*i*x = -2x
=>[f(x)']* = -2x
Hier stimmts zumindest...
Geometrisch könnte man es sich auch überlegen, da ja die Konjugation einfach eine Spiegelung an der Realteil-Achse ist. Die Funktion wird bei einer Komplexen Konjugation also gespiegelt, ebenso ist es mit der Ableitung, deshalb denke ich rein gedanklich dass es geht.
Kennt jemand einen Analytischen Beweis?
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
moin!
> Die Ableitung einer Komplex konjugierten Funktion bzw. die
> Komplex konjugierte einer Ableitung!
>
> Ich frage mich gerade ob das
> [mm]conj[\bruch{d f(x)}{dx}][/mm] = [mm]\bruch{d conj[f(x)]}{dx}[/mm]
>
> immer gilt, weil wir es kürzlich ohne weiteres benützt
> haben?
Die Frage ist hier: was fuer eine Ableitung betrachtest du?
Fasst du [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IR^2$ [/mm] auf und betrachtest sozusagen die Ableitung einer Funktion [mm] $\IR^2 \to \IR^2$, [/mm] welche eine $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix ist?
Oder bist du an komplexer Differentierbarkeit interessiert? Also $f'(z) = [mm] \lim_{z' \to z} \frac{f(z') - f(z)}{z' - z}$ [/mm] in [mm] $\IC$?
[/mm]
Im ersten Fall benutze die Kettenregel und leite $x [mm] \mapsto \overline{x}$ [/mm] ab.
Im zweiten Fall beachte, dass [mm] $\lim_{x' \to x} \overline{f(x')} [/mm] = [mm] \overline{\lim_{x' \to x} f(x')}$ [/mm] ist, da [mm] $\overline{\bullet} [/mm] : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] stetig ist.
> Also ich habe mir überlegt: Das Komplex konjugierte hat
> nur einen Einfluss wenn die Funktion in irgendeiner Weise
> ein i enthält - also komplexe Anteile hat. Da das i immer
> als konstanter Faktor vorkommt, wird beim Ableiten nichts
> weiter geschehen als das z.B. die Kettenregel angewendet
> werden muss.
>
> z.B:
> f(x) = [mm](i*x)^{2}[/mm] ( = [mm]-x^{2}[/mm] )
> f(x)' = i*2*i*x = -2x
> =>[f(x)']* = -2x
> Hier stimmts zumindest...
Mal anders gefragt: was genau verstehst du unter [mm] $f^\ast$, [/mm] wenn $f : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] eine Funktion ist? Du meinst doch [mm] $f^\ast(x) [/mm] = [mm] \overline{f(x)}$ [/mm] fuer $x [mm] \in \IC$, [/mm] oder?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Mo 22.11.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke, ich muss mir das noch genauer überlegen mit dem was du schreibst.
Ich hatte mal komplexe Analysis mit eben Cauchy Riemann DGL Bedingung. Aber ich denke es ist nicht das. Es ist so, dass wir den Hamilton-Operator auf die Wellenfunktion u(x,t) angewendet haben. Um irgendwas physikalisches zu beweisen haben wir dann die ganze gleichung komplex Konjugieren müssen, dabei wurde eben verwendet dass die (zweite) Ableitung Konjugiert gleich der Konjugierten der zweiten Ableitung ist.
Aber danke erstmal, ich werd mir jetzt das überlegen, sonst frag ich nochmals.
Gruss aus Europa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 23.11.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich muss sagen du hast mich etwas verwirrt bezüglich was ich jetzt betrachten muss zumal ich nie richtig verstanden habe wieso das komplexe Integrieren und Differenzieren vom reellen unterschieden werden sollte - ich meine Intuitiv, es ist ja nur eine Zahlenerweiterung und trotzdem ist es nicht so trivial zu erweitern...
Also wenn ich das noch richtig in Erinnerung von Komplexer Analysis habe, dann sind im Fall "komplexe Differnezierbarkeit" bzw. f'(z) = [mm] \lim_{z' \to z} \frac{f(z') - f(z)}{z' - z} [/mm] die Cauchy Riemannschen DGL-Bedingungen zu erfüllen.
Ich habe nun eine Wellenfunktion u(x,t) , also u: [mm] \IR^{2} \mapsto \IC
[/mm]
Ich habe jetzt eine Idee:
Ich muss doch einfach die Konjugation auf den Differenzenquotient anwenden.
[mm] \overline{\limes_{\Delta \rightarrow 0} \bruch{u(x+\Delta,t) - u(x,t)}{\Delta}}
[/mm]
[mm] =\limes_{\Delta \rightarrow 0} \bruch{\overline{u(x+\Delta,t)} - \overline{u(x,t)}}{\Delta}
[/mm]
(das Delta ist reell)
womit es gezeigt wäre...?
Danke, Gruss!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Di 23.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich muss sagen du hast mich etwas verwirrt bezüglich was
> ich jetzt betrachten muss zumal ich nie richtig verstanden
> habe wieso das komplexe Integrieren und Differenzieren vom
> reellen unterschieden werden sollte - ich meine Intuitiv,
> es ist ja nur eine Zahlenerweiterung und trotzdem ist es
> nicht so trivial zu erweitern...
> Also wenn ich das noch richtig in Erinnerung von Komplexer
> Analysis habe, dann sind im Fall "komplexe
> Differnezierbarkeit" bzw. f'(z) = [mm]\lim_{z' \to z} \frac{f(z') - f(z)}{z' - z}[/mm]
> die Cauchy Riemannschen DGL-Bedingungen zu erfüllen.
Und da kommst du mit dem Konjugieren in Teufels Kueche: Beispielsweise ist nichtmals die einfache Funktion $x [mm] \mapsto \overline{x}$ [/mm] komplex differenzierbar.
Insofern vermute ich mal, es geht bei dir um reelle Differenzierbarkeit 
> Ich habe nun eine Wellenfunktion u(x,t) , also u: [mm]\IR^{2} \mapsto \IC[/mm]
Ja, in dem Fall funktioniert es, gerade wenn du partiell differenzierst.
> Ich habe jetzt eine Idee:
> Ich muss doch einfach die Konjugation auf den
> Differenzenquotient anwenden.
>
> [mm]\overline{\limes_{\Delta \rightarrow 0} \bruch{u(x+\Delta,t) - u(x,t)}{\Delta}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{\Delta \rightarrow 0} \bruch{\overline{u(x+\Delta,t)} - \overline{u(x,t)}}{\Delta}[/mm]
>
> (das Delta ist reell)
> womit es gezeigt wäre...?
Ja, damit sollte es gezeigt sein, die Konjugation ist schliesslich stetig (und ein [mm] $\IR$ [/mm] festhaltender Koerperhomomorphismus ).
LG Felix
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