Komplexer Einheitskreis < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Einheitskreis um den Ursprung in der komplexen Ebene wird mit S bezeichnet, d.h. [mm] S=\{z \in \IC | |z|=1 \} [/mm] Seien z,w,v [mm] \in [/mm] S. Skizzieren Sie S und beweisen Sie:
b) z*w [mm] \in [/mm] S
c) z/w [mm] \in [/mm] S
d) [mm] z^5/w^8 *v^6 \in [/mm] S |
Hallo Leute :),
die Teilaufgabe a) wurde mir hier schon beantwortet(DANKE !!!). Ich glaube,dass ich ein Verständnisproblem habe. Würde nämlich alles damit begründen, dass z,w und v ja Elemente aus S sind. Somit haben sie die Strecke (Betrag)=1 und wenn ich 1*1 mache, dann kommt ja wieder 1 raus und das ist ja in S drin. Ab ich jetzt die 1^18291238 nehme oder [mm] 1^1 [/mm] spielt ja keine Rolle. Und so einfach kann die Lösung nicht sein :/.
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Hallo Ahnungsloser,
hattet Ihr schon die Darstellung von komplexen Zahlen in Polarkoordinaten?
> Der Einheitskreis um den Ursprung in der komplexen Ebene
> wird mit S bezeichnet, d.h. [mm]S=\{z \in \IC | |z|=1 \}[/mm] Seien
> z,w,v [mm]\in[/mm] S. Skizzieren Sie S und beweisen Sie:
> b) z*w [mm]\in[/mm] S
> c) z/w [mm]\in[/mm] S
> d) [mm]z^5/w^8 *v^6 \in[/mm] S
>
> die Teilaufgabe a) wurde mir hier schon beantwortet(DANKE
> !!!). Ich glaube,dass ich ein Verständnisproblem habe.
> Würde nämlich alles damit begründen, dass z,w und v ja
> Elemente aus S sind. Somit haben sie die Strecke (Betrag)=1
> und wenn ich 1*1 mache, dann kommt ja wieder 1 raus und das
> ist ja in S drin. Ab ich jetzt die 1^18291238 nehme oder
> [mm]1^1[/mm] spielt ja keine Rolle. Und so einfach kann die Lösung
> nicht sein :/.
Doch, so einfach ist sie, aber eben in Polarkoordinaten.
Grüße
reverend
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Die Polardarstellung hatten wir schon.
z=|z|(cos(phi)+isin(phi)
=|z|(cos(phi)+i|z|sin(phi)
wenn |z|=1 dann bewegt man sich immer auf dem Einheitskreis. Die Winkel bewirken ja nur die Drehung. Hast du das so gemeint??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Polarkoordinaten braucht man doch nicht .
Z.B. gilt für $z,w [mm] \in \IC: [/mm] ~~~ |z*w|=|z|*|w|$
Sind nun $z,w [mm] \in [/mm] S ~~ [mm] \Rightarrow [/mm] ~~~ |z*w|=|z|*|w|=1*1=1$, also $z [mm] \in [/mm] S$
FRED
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also könnte ich die c) und d) auch so lösen?
c) |z|/|w| z,w [mm] \in \IC
[/mm]
|z|/|w| = |z/w|
1/1 =1
d) z,w,v [mm] \in \IC
[/mm]
z,w,v [mm] \in [/mm] S [mm] |z|^5/|w|^8*|v|^6 [/mm] = [mm] 1^5/1^8*1^6
[/mm]
???
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Hallo,
> also könnte ich die c) und d) auch so lösen?
>
> c) |z|/|w| z,w [mm]\in \IC[/mm]
> |z|/|w| = |z/w|
> 1/1 =1
Was soll das denn formal sein? Wieso bist du so sparsam mit Rechenzeichen? Das ist sehr unzusammenhängend und unstrukturiert ...
Was ist denn eigentlich zu zeigen? Ist dir das klar?
zz. ist doch: [mm]\left|\frac{z}{w}\right|=1[/mm]
Dazu: [mm]\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}=\underbrace{\frac{1}{1}}_{\text{da }z,w\in S}=1[/mm]
Fertig
>
> d) z,w,v [mm]\in \IC[/mm]
> z,w,v [mm]\in[/mm] S [mm]|z|^5/|w|^8*|v|^6[/mm] =
> [mm]1^5/1^8*1^6[/mm]
>
> ???
Wieder sehr sehr unsauber.
Zu zeigen ist doch, dass [mm]\frac{z^5}{w^8}\cdot{}v\in S[/mm], dass also [mm]\left|\frac{z^5}{w^8}\cdot{}v\right|=1[/mm] ist.
Nimm die linke Seite [mm]\left|\frac{z^5}{w^8}\cdot{}v\right|[/mm] her und forme dann so um, wie du es gemacht hast, bis [mm]...=1[/mm] dasteht!
Gruß
schachuzipus
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Danke Leute,dass ihr euch so bemüht!!
So nun zur d) zu zeigen ist [mm] |(z^5/w^8)*v^6|=1 [/mm] ist
[mm] |(z^5/w^8)*v^6|=|z^5/w^8|*|v^6|=|z^5|/|w^8|*|v^6|=1^5/1^8*1^6=1
[/mm]
da z,w,v [mm] \in [/mm] S
ist das jetzt okay?
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Hallo nochmal,
> Danke Leute,dass ihr euch so bemüht!!
> So nun zur d) zu zeigen ist [mm]|(z^5/w^8)*v^6|=1[/mm] ist
>
> [mm]|(z^5/w^8)*v^6|=|z^5/w^8|*|v^6|=|z^5|/|w^8|*|v^6|[/mm]
Hier baue noch einen Zwischenschritt ein:
[mm]...=|z^5|/|w^8|\cdot{}|v^6|=|z|^5/|w|^8\cdot{}|v|^6=...[/mm]
> [mm]=1^5/1^8*1^6=1[/mm]
> da z,w,v [mm]\in[/mm] S
>
> ist das jetzt okay?
Jo!
Gruß
schachuzipus
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Was für einen Zwischenschritt?Habe in mein Skript geschaut bei den Eigenschaften der komplexen Zahlen, finde dort aber keine Umformung (oder vllt erkenne ich sie auch bloß nicht).
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Hallo!
> Was für einen Zwischenschritt?
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Den hat Dir schachuzipus haarklein aufgeschrieben ...
Gruß vom
Roadrunner
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[mm] |z^5/w^8*v^6| \in [/mm] S ???? SRY weiß gerade wirklich nicht was ihr meint
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Hallo nochmal,
> [mm]|z^5/w^8*v^6| \in[/mm] S ???? SRY weiß gerade wirklich nicht
> was ihr meint
Nein, du hast direkt auf [mm] $|z^n|=1$ [/mm] geschlossen.
Ich würde zwischenschieben: [mm] $|z^n|=|z|^n=1^n=1$
[/mm]
Also die Potenz aus dem Betrag ziehen ...
Gruß
schachuzipus
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DANKE DANKE DANKE DANKE !!!!!!! :)
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