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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:22 Do 05.01.2012 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Sei [mm](H, <-.->)[/mm] ein komplexer Hilbertraum.
Zeigen Sie, dass für [mm]x, y \in H[/mm] gilt:
[mm]x\perp y \gdw \forall a \in \IC [/mm] gilt [mm]||x|| \le ||x-ay||[/mm]. |
Hallo liebe Matheraum Mitglieder!
Ich habe dies erstmal wie folgt betrachtet:
[mm] ||x-ay||^2 = = + (-a)* + \overline{-a
}+ a^2[/mm]
[mm] = + 2Re(-a*)+ a^2[/mm]
Dies soll nun größer gelich [mm] ||x|| [/mm] sein.
[mm] \gdw 2Re(-a*)+ a^2 \ge 0 [/mm]
Dies soll jedoch nur gelten, wenn [mm]x\perp y [/mm] gilt.
Ann. dies gilt: dann folgt
[mm] 2Re(-a*)=0 [/mm] und dann müsste ich argumentieren können, dass [mm] a^2 \ge 0 [/mm] ist. Dann hätte ich die Hinrichtung ([mm]\Rightarrow[/mm]) des Beweises. Aber kann ich das überhaupt sagen? Denn eine Komplexe Zahl im Quadrat ist ja nicht immer größer Null...
Wo steckt hier mein Fehler? Oder gehe ich an die Sache komplett falsch ran?
Für die Rückrichtung nehme ich ja an, dass [mm]||x|| \le ||x-ay||[/mm] gilt und muss dann zeigen, dass dann [mm]=0[/mm] gelten muss.
Hier wollte ich ebenfalls meinen oberen Ansatz nehmen. Dementsprechend müsste ich aus der letzten Zeile folgern können:
[mm] 2Re(-a*)+ a^2 \ge 0 [/mm] dass dies nur gilt, wenn [mm]=0[/mm] das erfüllt ist.
Aber wie kann ich das zeigen? Ich komme hier einfach nicht weiter :(
Danke schon einmal für eure Hilfe!
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moin m0ppel,
Du darfst nicht vergessen, dass du deinen Skalar, wenn du ihn rausziehst, komplex konjugieren musst.
Das heißt du hast dann in deiner ersten Zeile nicht [mm] $a^2 [/mm] <y,y>$ sondern [mm] $|a|^2 [/mm] <y,y>$ stehen.
Das dürfte dein erstens Problem schonmal lösen.
Zum zweiten Teil:
Du kannst $x$ schreiben als $x = x' + b*y$, wobei $<x',y>=0$.
Also du zerlegst $x$ in seinen $y$-Anteil und den Rest.
Nimm nun an, dass $<x,y> [mm] \neq [/mm] 0$, dann folgt daraus $b [mm] \neq [/mm] 0$.
Da die Aussage für alle $a [mm] \in \IC$ [/mm] gelten soll reicht es jetzt zu zeigen, dass man (abhängig von $b$) immer ein $a$ findet, sodass
$ [mm] 2Re(-a\cdot{})+ |a|^2$ [/mm] $< 0 $
lg
Schadow
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