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Komplexes Integral: Betragsfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:41 Do 20.02.2014
Autor: Theb

Aufgabe
4. Man berechne das Integral I = [mm] \integral [/mm] f(z)dz fur einen Integrationsweg von [mm] z_1 [/mm] = −2 π bis [mm] z_2 [/mm] = 4 π entlang der
Archimedischen Spirale r = 2 ϕ. Falls möglich, nehme man eine Vereinfachung des Integrationsweges vor.

für:
f(z) = |z|
.

Hallo,

mein Problem ist hierbei eigentlich "nur" das ich nicht weiß wie ich mit der Betragsfunktion umgehen soll.  Als Vereinfachung habe ich einen Kreisbogen gewählt, da dieser ja annähernd die selbe Fläche haben sollte. Es gibt hier auch noch weitere Teilaufgaben die ich jedoch schon lösen konnte (also eigentlich nur weil ich den ansatz so gewählt habe, sind aber richtig, bzw. mein Ergebnis stimmt mit der Lösung überein).
Wäre nett wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte.


LG Seb

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Komplexes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:02 Fr 21.02.2014
Autor: fred97


> 4. Man berechne das Integral I = [mm]\integral[/mm] f(z)dz fur einen
> Integrationsweg von [mm]z_1[/mm] = −2 π bis [mm]z_2[/mm] = 4 π entlang
> der
>  Archimedischen Spirale r = 2 ϕ. Falls möglich, nehme man
> eine Vereinfachung des Integrationsweges vor.
>  
> für:
>  f(z) = |z|
> .
>  Hallo,
>  
> mein Problem ist hierbei eigentlich "nur" das ich nicht
> weiß wie ich mit der Betragsfunktion umgehen soll.  Als
> Vereinfachung habe ich einen Kreisbogen gewählt, da dieser
> ja annähernd die selbe Fläche haben sollte. Es gibt hier
> auch noch weitere Teilaufgaben die ich jedoch schon lösen
> konnte (also eigentlich nur weil ich den ansatz so gewählt
> habe, sind aber richtig, bzw. mein Ergebnis stimmt mit der
> Lösung überein).
>  Wäre nett wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen
> könnte.

Wo ist DEin Problem ?

Eine Parameterdarstellung der Archimedischen Spirale ist

[mm] c(t)=2te^{it}, [/mm] t [mm] \in[-2 \pi, [/mm] 4 [mm] \pi] [/mm]

FRED

>  
>
> LG Seb
>  
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Komplexes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:50 Fr 21.02.2014
Autor: Theb

Hallo,

aber ich soll doch dann mit dem Betrag rechnen. Der Betrag der Archimedischen Spirale ist ja dann 2t.
also ist mein |z| = 2 |t|.
D.h. [mm] \bruch [/mm] {dz}{dt} = [mm] 2*e^{it} [/mm] + 2ti * [mm] e^{it} [/mm]

also
I =  [mm] \integral_{-2\pi}^{4\pi} [/mm] 4|t| * [mm] e^{it}+ [/mm] 4t*|t| * [mm] ie^{it} [/mm] dt

        

ist das soweit in Ordnung?






LG Seb


Bezug
                        
Bezug
Komplexes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:08 Fr 21.02.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> aber ich soll doch dann mit dem Betrag rechnen. Der Betrag
> der Archimedischen Spirale ist ja dann 2t.
>  also ist mein |z| = 2t.

nein. Sondern |z|=2|t|


>  D.h. [mm]\bruch[/mm] {dz}{dt} = 2ti * [mm]e^{it}[/mm]

Auch das stimmt nicht ! Produktregel !

FRED

>  
> also I =  [mm]\integral_{-2\pi}^{4\pi} 4t^{2}[/mm] * [mm]ie^{it}[/mm] dt
>  
> = [  [mm]8t*ie^{it}[/mm] - [mm]4t^{2}*e^{it} ]_{-2\pi}^{4\pi}[/mm]
>  
> ist das soweit in Ordnung?
>  
> jetzt habe ich als Ergebnis I = [mm]-48\pi^{2}[/mm] +  i48 [mm]\pi[/mm] .
>
>
> Laut Lösung soll  aber I = [mm]-8+20\pi[/mm] + [mm]i*12\pi[/mm]  richtig
> sein.
>  Ist mein Fehler erkenntlich?
>
>
> LG Seb
>  


Bezug
                                
Bezug
Komplexes Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:16 Fr 21.02.2014
Autor: Theb

Hatte das auch gemerkt, war gerade in der bearbeitung als du geschrieben hast

lg Seb

Bezug
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