Komplexes Integral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes jeweils das Integral [mm] \int_{C}\frac{1}{1+z^2}dz [/mm] wenn bei positiver Orientierung von C gilt:
a) [mm] C=\partial U_1(i)
[/mm]
b) [mm] C=\partial U_1(-i)
[/mm]
c) [mm] C=\partial U_2(0)
[/mm]
(Hinweis: Zerlegung des Integranden in Partialbrüche.) |
Guten Morgen,
ich habe zunächst den Hinweis befolgt und den Integranden wie folgt zerlegt:
[mm] \frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz
[/mm]
Nun zur Teilaufgabe a)
[mm] \frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz
[/mm]
[mm] =\frac{i}{2}\left(\int_{C}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{C}\frac{dz}{z-i}\right)
[/mm]
[mm] =\frac{i}{2}(0-2\pi{}i)
[/mm]
[mm] =\pi
[/mm]
Das 0 und [mm] 2\pi{}i [/mm] bei den Integralen herauskommt, folgere ich aus dem Cauchyschen Integralsatz und aus der Integralformel.
Teilaufgabe b)
[mm] \frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz
[/mm]
[mm] =\frac{i}{2}\left(\int_{C}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{C}\frac{dz}{z-i}\right)
[/mm]
[mm] =\frac{i}{2}(2\pi{}i-0)
[/mm]
[mm] =-\pi
[/mm]
Teilaufgabe c)
[mm] \frac{i}{2}\int_{|z|=2}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz
[/mm]
[mm] =\frac{i}{2}\left(\int_{|z|=2}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{|z|=2}\frac{dz}{z-i}\right)
[/mm]
[mm] =\frac{i}{2}(2\pi{}i-2\pi{}i)
[/mm]
$=0$
Meine Frage:
Sind die Berechnungen korrekt, oder habe ich fundamentale Fehler gemacht?
Ich danke Euch.
Beste Grüße und schönen Sonntag!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes
> jeweils das Integral [mm]\int_{C}\frac{1}{1+z^2}dz[/mm] wenn bei
> positiver Orientierung von C gilt:
>
> a) [mm]C=\partial U_1(i)[/mm]
>
> b) [mm]C=\partial U_1(-i)[/mm]
>
> c) [mm]C=\partial U_2(0)[/mm]
>
> (Hinweis: Zerlegung des Integranden in Partialbrüche.)
> Guten Morgen,
>
> ich habe zunächst den Hinweis befolgt und den Integranden
> wie folgt zerlegt:
>
> [mm]\frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz[/mm]
>
> Nun zur Teilaufgabe a)
>
> [mm]\frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz[/mm]
>
> [mm]=\frac{i}{2}\left(\int_{C}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{C}\frac{dz}{z-i}\right)[/mm]
>
>
> [mm]=\frac{i}{2}(0-2\pi{}i)[/mm]
>
> [mm]=\pi[/mm]
>
> Das 0 und [mm]2\pi{}i[/mm] bei den Integralen herauskommt, folgere
> ich aus dem Cauchyschen Integralsatz und aus der
> Integralformel.
>
> Teilaufgabe b)
>
> [mm]\frac{i}{2}\int_{C}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz[/mm]
>
> [mm]=\frac{i}{2}\left(\int_{C}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{C}\frac{dz}{z-i}\right)[/mm]
>
> [mm]=\frac{i}{2}(2\pi{}i-0)[/mm]
>
> [mm]=-\pi[/mm]
>
>
> Teilaufgabe c)
>
> [mm]\frac{i}{2}\int_{|z|=2}\left(\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\right)dz[/mm]
>
> [mm]=\frac{i}{2}\left(\int_{|z|=2}\frac{dz}{z-(-i)}-\int_{|z|=2}\frac{dz}{z-i}\right)[/mm]
>
> [mm]=\frac{i}{2}(2\pi{}i-2\pi{}i)[/mm]
>
> [mm]=0[/mm]
>
> Meine Frage:
> Sind die Berechnungen korrekt, oder habe ich fundamentale
> Fehler gemacht?
Alles bestens !
>
> Ich danke Euch.
>
> Beste Grüße und schönen Sonntag!
Ebenso FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 So 04.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Ich danke dir vielmals Fred.
Komplexe Integrale bereiten mir, seltsamerweise, ein paar Schwierigkeiten. Ich muss mich damit erst anfreunden...
Grüße
|
|
|
|
