Komplexes Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie das komplexe Kurvenintegral:
[mm] \integral_{\gamma}{z^{\bruch{1}{2}} dz}
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] (t) = [mm] e^{(1+i)+t}
[/mm]
[mm] 0\le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] |
Hallo,
Ich hab probleme bei dieser speziellen Aufgabe, ich würde wie üblich [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{f(z)* \dot \gamma (t) dt} [/mm] machen, komme dann aber zu einem fragwürdigen Ergebnis:
[mm] 2*(\bruch{e^{3 \pi i +3} + i e^{3 \pi i +3} - 1 - i}{3i+3})
[/mm]
Geht man bei dem Beispiel überhaupt so wie ich es gemacht habe vor? oder doch mit Residuum?
Für Hilfe wär ich sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Calli |
> ...
> Geht man bei dem Beispiel überhaupt so wie ich es gemacht
> habe vor? oder doch mit Residuum?
Und, wie hast du es gemacht ? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ciao Calli
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Naja ich würde mal [mm] \gamma [/mm] ableiten: [mm] (1+i)*e^{(1+i)*t}
[/mm]
Dann ins Integral einsetzen:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{ e^{(1+i)*t}}
(1+i)*e^{(1+i)*t} dt}
[/mm]
und dann integrieren.
So bin ich sonst auch immer vorgegangen, aber ich glaube hier gibts irgendeinen trick, auf den ich nicht komme...
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Hallo Wieselwiesel,
> Naja ich würde mal [mm]\gamma[/mm] ableiten: [mm](1+i)*e^{(1+i)*t}[/mm]
>
> Dann ins Integral einsetzen:
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{\wurzel{ e^{(1+i)*t}} (1+i)*e^{(1+i)*t} dt}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und dann integrieren.
Ja, ist doch in Ordnung, rechne das doch mal vor!
Du kannst [mm](1+i)[/mm] vor das Integral ziehen und dann schreiben [mm]\sqrt(...)\cdot{}e^{(...)}=e^{\frac{3}{2}(1+i)t}[/mm]
Das kannst du zB. über eine direkte lineare Substitution lösen ...
>
> So bin ich sonst auch immer vorgegangen, aber ich glaube
> hier gibts irgendeinen trick, auf den ich nicht komme...
Kein Trick dabei, rechne er geradeheraus aus (und vor)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wenn man $\sqrt {e^{x+iy}$ einfach als $e^ {x/2+ iy/2}$ definiert, kommt man zu:
$1=\sqrt 1 = \sqrt {e^{2\pi i}} = e^{\pi i}=-1$. So geht's also nicht. Aber wie geht's?
Gespannt,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Do 29.09.2011 | | Autor: | eburg2 |
Hallo Helbig,
dein Fehler liegt hier:
[mm] \wurzel{x^{2}}= [/mm] |x|
Also muss es heißen:
1 = [mm] \wurzel{e^{2*\pi*i}} [/mm] = [mm] |e^{\pi*i}| [/mm] = 1
Liebe Grüße,
eburg2
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Do 29.09.2011 | | Autor: | Helbig |
In der Aufgabe steht [mm] $\sqrt [/mm] z$ für beliebiges [mm] $z\in\IC$. [/mm] Und im Lösungsvorschlag von schachuzipus wird [mm] $\sqrt{e^z}=e^{z/2}$ [/mm] gesetzt. Aber diese Definition führt zu dem Widerspruch $1=-1$.
Der in der Aufgabe verwendete Ausdruck [mm] $z^{1/2}$ [/mm] ist bekanntlich mehrdeutig. Daher sollte in der Aufgabe erklärt sein, was damit gemeint ist. Ansonsten ist sie sinnlos.
Die Formel [mm] $(e^z)^{1/2}=e^{z/2}$ [/mm] gilt eben nicht für jedes [mm] $z\in \IC$, [/mm] sie gilt allerdings für jedes [mm] $z\in\IR$.
[/mm]
OK?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Calli |
> Die Formel [mm](e^z)^{1/2}=e^{z/2}[/mm] gilt eben nicht für jedes
> [mm]z\in \IC[/mm], sie gilt allerdings für jedes [mm]z\in\IR[/mm].
>
> OK?
Nix Ok ! Es ist :
[m]e^{z/2} = e^{(x + iy)/2} =e^{x/2} * e^{iy/2}= e^{x/2} *\left [ cos \left( \frac{y+2 k \pi}{2} \right) +i * sin \left( \frac{y+2 k \pi}{2}\right) \right] \quad mit \quad k = 0\ ; 1 [/m]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Helbig |
> > Die Formel [mm](e^z)^{1/2}=e^{z/2}[/mm] gilt eben nicht für jedes
> > [mm]z\in \IC[/mm], sie gilt allerdings für jedes [mm]z\in\IR[/mm].
> >
> > OK?
> Nix Ok ! Es ist :
>
> [m]e^{z/2} = e^{(x + iy)/2} =e^{x/2} * e^{iy/2}= e^{x/2} *\left [ cos \left( \frac{y+2 k \pi}{2} \right) +i * sin \left( \frac{y+2 k \pi}{2}\right) \right] \quad mit \quad k = 0\ ; 1 [/m]
>
>
Ja und? Folgt aus Deiner Gleichung denn [mm] $(e^z)^{1/2}=e^{z/2}$? [/mm] Das wäre schlecht. Denn dann wäre tatsächlich $1=-1$, wie man für [mm] $z=2\pi [/mm] i$ leicht nachrechnet.
Grüße,
Wolfgang
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Achso, kein Trick, ich hab mich nur verrechnet!
(1+i) [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{e^{\bruch{3}{2}(1+i)*t}dt}
[/mm]
das is dann [mm] \bruch{2e^{\bruch{3i+3}{2}*t}}{3} |_{0}^{2 \pi} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} (e^{3 \pi}-1)
[/mm]
stimmt das Ergebnis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Calli |
> Achso, kein Trick, ich hab mich nur verrechnet!
>
> (1+i) [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{e^{\bruch{3}{2}(1+i)*t}dt}[/mm]
> das
> is dann [mm]\bruch{2e^{\bruch{3i+3}{2}*t}}{3} |_{0}^{2 \pi}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3} (e^{3 \pi}-1)[/mm]
>
> stimmt das Ergebnis?
Nein ! Zeige die Rechenschritte !
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Entschuldigung, ich habe mich bei der Angabe verschrieben, es soll
$ [mm] \integral_{\gamma}{z^{\bruch{1}{2}} dz} [/mm] $
$ [mm] \gamma [/mm] $ (t) = $ [mm] e^{(1+i)*t} [/mm] $
$ [mm] 0\le [/mm] $ t $ [mm] \le [/mm] $ 2 $ [mm] \pi [/mm] $
heissen.
Ich war gestern bei meinem Professor und der hat gesagt dieses Ergebnis stimmt: [mm] \bruch{2}{3}(e^{3 \pi (1+i)}-1) [/mm]
Auf meine Frage wie denn [mm] \wurzel{z} [/mm] im komplexen definiert ist, hat er gemeint das ist nicht wichtig für dieses Bsp.
Danke für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Do 29.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldigung, ich habe mich bei der Angabe verschrieben,
> es soll
>
> [mm]\integral_{\gamma}{z^{\bruch{1}{2}} dz}[/mm]
> [mm]\gamma[/mm] (t) =
> [mm]e^{(1+i)*t}[/mm]
> [mm]0\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 2 [mm]\pi[/mm]
>
> heissen.
> Ich war gestern bei meinem Professor und der hat gesagt
> dieses Ergebnis stimmt: [mm]\bruch{2}{3}(e^{3 \pi (1+i)}-1)[/mm]
> Auf meine Frage wie denn [mm]\wurzel{z}[/mm] im komplexen definiert
> ist, hat er gemeint das ist nicht wichtig für dieses Bsp.
Da bin ich aber gänzlich anderer Meinung ....
FRED
>
> Danke für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Do 29.09.2011 | | Autor: | Calli |
> Ich war gestern bei meinem Professor und der hat gesagt
> dieses Ergebnis stimmt: [mm]\bruch{2}{3}(e^{3 \pi (1+i)}-1)[/mm]
Was sich natürlich noch weiter ausrechnen lässt. Das Ergebnis ist reell !
> Auf meine Frage wie denn [mm]\wurzel{z}[/mm] im komplexen definiert
> ist, hat er gemeint das ist nicht wichtig für dieses Bsp.
Dem möchte ich nur zum Teil zustimmen.
Die Rechnung mit [mm] -\wurzel{z} [/mm] führt auch zu einem interessanten Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Helbig |
> Dem möchte ich nur zum Teil zustimmen.
> Die Rechnung mit [mm]-\wurzel{z}[/mm] führt auch zu einem
> interessanten Ergebnis.
>
Ja, ich erhalte
[mm] $$\bruch [/mm] {2(1+i)} [mm] {5+2\pi i} \left(e^{\pi (5 + 2\pi i)}-1\right)\;.$$
[/mm]
Wenn ich hier was gelernt habe, dann, dass man mit [mm] $\sqrt [/mm] z$ keine Funktion definieren kann. Damit hat diese Aufgabe doch einen, wohl unbeabsichtigten, Sinn bekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo Wieselwiesel,
wie definierst Du [mm] $\sqrt [/mm] z$? Die Wurzel ist doch nur für nichtnegative reelle Zahlen festgelegt. Aber die Kurve geht ins Komplexe.
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Wieselwiesel,
>
> wie definierst Du [mm]\sqrt z[/mm]? Die Wurzel ist doch nur für
> nichtnegative reelle Zahlen festgelegt.
Das stimmt doch nicht ! In [mm] \IC [/mm] ist die Wurzel mehrdeutig. Das ist das Problem bei dieser Aufgabe !!
FRED
> Aber die Kurve geht
> ins Komplexe.
>
>
> Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Helbig |
FRED, Du hast völlig recht! Und genau deshalb fragte ich ja nach der Definition von [mm] $z^{1/2}$ [/mm] für diese Aufgabe.
Grüße,
Wolfgang.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Calli |
> Naja ich würde mal [mm]\gamma[/mm] ableiten: [mm](1+i)*e^{(1+i)*t}[/mm]
Ja was denn nun ?
[mm]\gamma(t) = e^{(1+i)*t}[/mm]
oder
[m]\gamma(t) = e^{(1+i) \red + t }[/m] wie in der Aufgabe !
![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen sie das komplexe Kurvenintegral:
>
> [mm]\integral_{\gamma}{z^{\bruch{1}{2}} dz}[/mm]
> [mm]\gamma[/mm] (t) =
> [mm]e^{(1+i)+t}[/mm]
> [mm]0\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 2 [mm]\pi[/mm]
> Hallo,
>
> Ich hab probleme bei dieser speziellen Aufgabe, ich würde
> wie üblich [mm]\integral_{0}^{2 \pi}{f(z)* \dot \gamma (t) dt}[/mm]
> machen, komme dann aber zu einem fragwürdigen Ergebnis:
> [mm]2*(\bruch{e^{3 \pi i +3} + i e^{3 \pi i +3} - 1 - i}{3i+3})[/mm]
>
> Geht man bei dem Beispiel überhaupt so wie ich es gemacht
> habe vor? oder doch mit Residuum?
>
> Für Hilfe wär ich sehr dankbar!
Da wir in [mm] \IC [/mm] sind, stellt sich mir zunächst die Frage, was unter [mm] z^{\bruch{1}{2}} [/mm] zu verstehen ist.....
FRED
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