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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mo 02.01.2006 | | Autor: | heine789 |
Hallo Leute!
Habe folgende Aufgabe (z [mm] \in \IC):
[/mm]
[mm] z^{4} [/mm] - [mm] z^{3} [/mm] - [mm] z^{2} [/mm] - z - 2 = 0
eine Lösung leutet j (img. Einheit)
Geht das hier mit Polynomdiv.?
Kann mir jemand vielleicht das Vorgehen erklären, bzw. einen Ansatz liefern?
Wäre sehr dankbar. MfG heine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Mo 02.01.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
genau. jetzt musst du polynomdivision durch $(z - j)$ machen und erhälst dann ein polynom vom grad $3$! danach musst du noch eine nullstelle eraten und eine weitere polynomdivision durchführen, dann bist du bei einem polynom vom grad $2$ - und das lässt sich dann leicht lösen!
noch ein tipp: wenn ein polynom $f$ mit rellen koeffizienten eine nulstelle [mm] $z_0$ [/mm] hat, so ist auch [mm] $\overline{z_0}$, [/mm] das komplex-konjugierte dieser nulstelle, eine nulstelle von $f$.
probiere mal, ob du damit schon weiterkommst
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 02.01.2006 | | Autor: | heine789 |
Hallo andreas!
Danke für die schnelle Antwort.
Wenn ich nun durch (z-j) teile, erhalte ich als erstes nun folgendes:
[mm] (z^4 [/mm] - [mm] z^3 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] - z -2) : (z-j) = [mm] z^3
[/mm]
[mm] -(z^4 [/mm] - [mm] jz^3)
[/mm]
----------------
[mm] jz^3 [/mm] - [mm] z^3...
[/mm]
Hier liegt auch schon mein Problem. Ich weiß nicht was mit dem j anzustellen ist. Ich kann [mm] z^3 [/mm] noch ausklammern aber ich weiß nicht wie ich nun weiter vorgehen muss.
Kannst du mir noch weiterhelfen? Kompl. Polynome haben wir noch nicht behandelt.
MfG heine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo heine!
Das sieht doch schon sehr gut aus. Auch die Idee mit dem Ausklammern ist sehr gut ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
[mm](z^4 - z^3 - z^2 - z -2) : (z-j) = z^3 + \blue{(j-1)}*z^2 ...[/mm]
[mm]-(z^4 - jz^3)[/mm]
[mm]-------_[/mm]
[mm]\blue{(j-1)}*z^3[/mm]
[mm]-\left[(j-1)*z^3+(1+j)*z^2\right][/mm]
[mm]-------------_[/mm]
[mm](-2-j)*z^2[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mo 02.01.2006 | | Autor: | heine789 |
Bin jetzt beim Polynom 2. Grades angekommen:
[mm] z^2 [/mm] + z(j + 1) + j = 0
Ich kenne nun schon 2 Nullstellen: j und 2.
Um die restlichen Nullstellen zu bestimmen wollte ich mit der "Mitternachtsformel" weiterrechnen. Leider komm ich damit aber nicht weiter.
Hast du noch ein Tipp für mich wie ich auch an die restlichen Nullstellen komme?
Vielen Dank
heine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo heine!
Zum einen kannst Du ja noch den Tipp von oben anwenden, dass auch die Konjugierte zu [mm] $z_1 [/mm] \ =\ j$ mit [mm] $z_2 [/mm] \ =\ [mm] \overline{z}_1 [/mm] \ = \ -j$ ebenfalls eine Lösung ist.
Also eine weitere Polynomdivision mit $(z+j)_$ ...
Alternativ kannst du die Mitternachtsformel (oder auch  p/q-Formel) anwenden. Du musst halt berücksichtigen, dass gilt: [mm] $\wurzel{j} [/mm] \ = \ [mm] \pm \left(\bruch{\wurzel{2}}{2}+j*\bruch{\wurzel{2}}{2}\right) [/mm] \ =\ [mm] \pm\bruch{\wurzel{2}}{2}*(1+j)$ [/mm] gilt.
Einfacher ist mit Sicherheit der erste Weg ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Di 03.01.2006 | | Autor: | heine789 |
Habs geschafft. Lösungen sind j, -j, 2, -1.
Hab gleich am Anfang durch (z²+1) dividiert und danach mit Mitternachtsformel weitergerechnet.
Gruß heine
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Wenn du schon weißt, daß [mm]\operatorname{j}[/mm] und [mm]- \operatorname{j}[/mm] Nullstellen sind, dann kannst du auch gleich [mm](z - \operatorname{j})(z + \operatorname{j}) = z^2 +1[/mm] abspalten. So vermeidest du den Weg über die komplexen Zahlen.
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