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Hallo zusammen!
Ich soll eine Behauptung zeigen und ich möchte wissen ob meine Annahme - die ich für den Beweis brauche - stimmt.
Ich habe ein komplexes Polynom P(z) und eine Folge [mm] {v}_{n} [/mm] im Bildbereich P(U), U Menge. Ich möchte jetzt zeigen, dass es eine Folge [mm] {u}_{n} [/mm] gibt s.d. [mm] P(u_{i})=v_{i} [/mm] für alle i=1,2,... (Es spielt hier keine Rolle, ob die [mm] u_{i} [/mm] in U sind oder nicht)
Im reellen Fall würde ich so argumentieren: Polynome sind stetig und sind surjektiv, d.h. bilden auf [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] ab. Daraus ergibt sich, dass ich eine geeignete Folge [mm] {u}_{n} [/mm] finde, so dass meine Bildfolge genau [mm] {v}_{n} [/mm] ist.
Meine Frage ist jetzt, ob der gleiche Beweis über Stetigkeit und Surjektivität auch für die komplexen Zahlen gilt.
Vielen Dank für eure Mühen!
Euer Gorks
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Di 04.03.2008 | | Autor: | GorkyPark |
Okay, mir ist ein Licht aufgegangen. Habe mir das Leben wieder unnötig schwer gemacht...
(Surjektivität ist natürlich schon bei geraden Polynomen Quatsch!)
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> Hallo zusammen!
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> Ich soll eine Behauptung zeigen und ich möchte wissen ob
> meine Annahme - die ich für den Beweis brauche - stimmt.
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> Ich habe ein komplexes Polynom P(z) und eine Folge [mm]{v}_{n}[/mm]
> im Bildbereich P(U), U Menge. Ich möchte jetzt zeigen, dass
> es eine Folge [mm]{u}_{n}[/mm] gibt s.d. [mm]P(u_{i})=v_{i}[/mm] für alle
> i=1,2,... (Es spielt hier keine Rolle, ob die [mm]u_{i}[/mm] in U
> sind oder nicht)
Aber gewiss doch, aber ja doch: dies spielt sehr wohl eine Rolle. Siehe unten.
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> Im reellen Fall würde ich so argumentieren: Polynome sind
> stetig und sind surjektiv,
Dass dies nicht richtig ist, hast Du bereits selbst bemerkt.
> d.h. bilden auf [mm]-\infty[/mm] bis
> [mm]\infty[/mm] ab. Daraus ergibt sich, dass ich eine geeignete
> Folge [mm]{u}_{n}[/mm] finde, so dass meine Bildfolge genau [mm]{v}_{n}[/mm]
> ist.
Wenn die [mm] $v_i\in [/mm] P(U)$ sind, dann gibt es, aufgrund der Definition von $P(U)$, für jedes [mm] $v_i$ [/mm] mindestens ein [mm] $u_i\in [/mm] U$ mit [mm] $P(u_i)=v_i$. [/mm] D.h. eine Folge [mm] $(u_i)_{i\in\IN}$ [/mm] aus $U$ mit [mm] $P(u_i)=v_i$ [/mm] existiert aus einigermassen trivialen Gründen durchaus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Mi 05.03.2008 | | Autor: | GorkyPark |
Jo danke, das ist mir eben auch danach klar geworden.
Hab' zu weit gesucht.
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