Komponenten berechnen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Di 20.11.2012 | | Autor: | Cloud123 |
| Aufgabe | Ein Vektor [mm] \overrightarrow{a} [/mm] ist mit seinen Komponenten ax, ay und az im x - y - z - Koordinatensystem gegeben.
Berechnen Sie seine Komponenten ax', ay' und az' im x' - y' - z' -Koordinatensystem, das gegenüber dem x - y -z - Koordinatensystem um die z-Achse um [mm] \gamma [/mm] = 60° verdreht ist. |
Hallo.
Kann mir wer erklären wie man die Aufgabe lösen kann.
Oder kann mir jemand eine Seite schicken die das gut erklärt damit ich es alleine versuchen kann?
|
|
| |
|
Hallo Cloud,
das wird jetzt schwieriger klingen, als es eigentlich ist...
> Ein Vektor [mm]\overrightarrow{a}[/mm] ist mit seinen Komponenten
> ax, ay und az im x - y - z - Koordinatensystem gegeben.
Schreib lieber [mm] a_x, a_y, a_z
[/mm]
> Berechnen Sie seine Komponenten ax', ay' und az' im x' -
> y' - z' -Koordinatensystem, das gegenüber dem x - y -z -
> Koordinatensystem um die z-Achse um [mm]\gamma[/mm] = 60° verdreht
> ist.
Und hier [mm] a_{x'}, a_{y'}, a_{z'}.
[/mm]
> Hallo.
> Kann mir wer erklären wie man die Aufgabe lösen kann.
> Oder kann mir jemand eine Seite schicken die das gut
> erklärt damit ich es alleine versuchen kann?
Eine Seite habe ich nicht gefunden, mag es aber geben.
Erstmal: was heißt wohl "um die z-Achse um [mm] \gamma=60^{\circ} [/mm] verdreht"?
Wir schauen von oben auf die z-Achse und drehen alles um 60° nach links.
Das heißt vor allem: $z=z'$ und damit auch [mm] a_{z'}=a_z.
[/mm]
Damit wäre ja schonmal ein Drittel der Aufgabe gelöst.
Was passiert mit der x-Komponente? Drehen wir den Vektor [mm] (1,0,0)^{T}_{(x,y,z)} [/mm] mal um 60°. Dann wird er auf den Vektor [mm] \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\wurzel{3},0\right)^T_{(x,y,z)} [/mm] abgebildet. Der heißt jetzt in den neuen Koordinaten [mm] (1,0,0)^T_{(x',y',z')}.
[/mm]
So ähnlich in y-Richtung: [mm] (0,1,0)^T_{(x,y,z)}\to\left(-\tfrac{1}{2}\wurzel{3},\tfrac{1}{2},0\right)^T_{(x,y,z)}=(0,1,0)^T_{(x',y',z')}.
[/mm]
Zeichne Dir das mal in der x,y-Ebene auf und wende Dein Wissen über Sinus und Cosinus an.
Wie kannst Du jetzt die x'-Komponte [mm] a_{x'} [/mm] in Abhängigkeit von x,y darstellen? Und wie [mm] a_{y'}, [/mm] ebenfalls in (einer anderen) Abhängigkeit von x,y?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Cloud123 |
Ok das heißt [mm] a_z_' [/mm] = 5 wenn [mm] a_z [/mm] = 5 ist.
Ich hab ne Seite gefunden.
http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_11/ma_11_03/ma_11_03_02.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_11/ma_11_03/ma_11_03_10.vscml.html
Kannst du gucken ob das richtig wäre:
Wenn das gegeben ist
[mm] a_x [/mm] = 10
[mm] a_y [/mm] = 16
[mm] a_z [/mm] = 5
[mm] a_x_' [/mm] = cos(60) * 10 - sin(60) * 16
= - 8,856
[mm] a_y_' [/mm] = sin(60) * 10 + cos(60) * 16
= 16,66
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Mi 21.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Das sieht gut aus. Das neue Koordinatensystem ist von oben gesehen (also so dass die der positive Teil der z-Achse ins Auge sticht) nun um 60° im Uhrzeigersinn um die z-Achse gedreht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Calli |
> Das sieht gut aus. Das neue Koordinatensystem ist von oben
> gesehen (also so dass die der positive Teil der z-Achse ins
> Auge sticht) nun um 60° im Uhrzeigersinn um die z-Achse
> gedreht.
Fragt sich nur, ob eine Drehung 'cw' (mathematisch negativ) mit der Angabe 'Drehung um γ = 60°' ('ccw' bzw. mathematisch positiv) im Sinne der Aufgabenstellung ist.
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Mi 21.11.2012 | | Autor: | reverend |
> > Das sieht gut aus. Das neue Koordinatensystem ist von oben
> > gesehen (also so dass die der positive Teil der z-Achse ins
> > Auge sticht) nun um 60° im Uhrzeigersinn um die z-Achse
> > gedreht.
>
> Fragt sich nur, ob eine Drehung 'cw' (mathematisch negativ)
> mit der Angabe 'Drehung um γ = 60°' ('ccw' bzw.
> mathematisch positiv) im Sinne der Aufgabenstellung ist.
>
Gute Frage, Calli.
Grüße
rev
|
|
|
|
