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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Fr 27.04.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | f: X --> Y und g: Y -->Z seinen Abbildungen und M [mm] \subseteq [/mm] X eine Teilmenge.
a) Finde ein Beispiel mit g [mm] \circ [/mm] f [mm] =id_x, [/mm] in dem g nicht injektiv ist.
b) Finde ein Beispiel, in dem g surjektiv ist, aber g [mm] \circ [/mm] f nicht.
c) Beweise/Finde ein Gegenbeispiel:
i) Ist [mm] f|_M [/mm] injektiv, so ist f injektiv.
ii) Ist [mm] f|_M [/mm] surjektiv, so ist f surjektiv.
iii) Ist [mm] f|_M [/mm] bijektiv, so ist f bijektiv.
iv) Ist f injektiv, so ist auch [mm] f|_M [/mm] injektiv. |
zu a) ich hätte g: IR --> IR, x--> [mm] x^2 [/mm] gewählt, weil g nicht injektiv und f: [mm] IR^{+}_0 [/mm] --> IR mit x--> [mm] \wurzel{x}, [/mm] das ist injektiv und es gilt: g [mm] \circ [/mm] f= [mm] id_x
[/mm]
zu b) hier hätte ich g: IR --> IR, x--> x gewält, da surjektiv und f:IR-->IR mit [mm] x-->x^2 [/mm] dann ist g [mm] \circ [/mm] f [mm] =x^2 [/mm] und das ist nicht surjektiv.
zu c)
i) falsch. Gegenbeispiel: f: [mm] IR|_{ \ge 0} [/mm] --> IR, [mm] x-->x^2 [/mm] ist injektiv, aber f.IR--IR, x--> [mm] x^2 [/mm] ist nicht injektiv.
ii) falsch. gegenbsp.: [mm] f:IR--IR|_{\ge 0} [/mm] --IR ist surjektiv, aber f:IR--IR,
x--> [mm] x^2 [/mm] ist nicht surjektiv.
iii) falsch.
Gegenbsp.: [mm] f:IR|_{\ge 0} --IR|_{\ge 0} ,x-->x^2 [/mm] ist bijektiv, aber f:IR--IR, x--> [mm] x^2 [/mm] ist nicht bijektiv
Stimmt soweit i-was?
Danke schonmal in Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Fr 27.04.2012 | | Autor: | WWatson |
Hallo, rollroll,
also, Deine Antworten sehen soweit schon ganz gut aus. Deine Antwort zu a) ist richtig. Deine Antwort zu b) stimmt so leider nicht, denn [mm] x^{2} [/mm] ist surjektiv. Bei c) stimmen i) und iii), bei ii) hast Du vergessen, zu definieren, wohin x unter f abgebildet wird. Ich schließe aber aus Deinen Argumenten danach, dass dort wahrscheinlich auch [mm] x^{2} [/mm] gemeint ist, dass aber, wie ich oben schon erwähnt habe, surjektiv ist.
Vielleicht hilft Dir, dass stetige Funktionen surjektiv und streng monotone Funktionen injektiv sind, um bei b) ein Beispiel bzw. bei c) ii) ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
War Dir die Antwort von c) iv) klar, oder hast Du die Aufgabe noch nicht?
Viele Grüße,
WWatson
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Fr 27.04.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke.
Aber warum ist denn f: IR --> IR , x--> [mm] x^2 [/mm] surjektiv, z.B. gibt es doch zu -1 kein Urbild... ?
Und bei iv) weiß ich (noch) keine Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Fr 27.04.2012 | | Autor: | WWatson |
Also, Du hast im Prinzip schon Recht, aber bei [mm] x^{2} [/mm] nimmt ja als Funktionswert niemals irgendeinen negativen Wert an (komplexe Zahlen jetzt mal außen vor gelassen), das bedeutet, dass [mm] x^{2} [/mm] eigentlich eine Abbildung von [mm] \IR \to \IR^{+} [/mm] darstellt, und daher -1 gar kein Element des Bildes von [mm] x^{2} [/mm] ist.
Für c) (iv) kannst Du Dir ja einfach mal mit meinem Monotonie-Tipp in meiner ersten Antwort überlegen, ob es eine streng monotone Funktion gibt, von der Du nur einen Teil betrachten kannst, sodass dieser dann nicht mehr streng monoton ist. Das musst Du dann nur noch sauber formulieren und dann hast Du's im Prinzip.
Gruß,
WWatson
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Fr 27.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also, Du hast im Prinzip schon Recht, aber bei [mm]x^{2}[/mm] nimmt
> ja als Funktionswert niemals irgendeinen negativen Wert an
> (komplexe Zahlen jetzt mal außen vor gelassen), das
> bedeutet, dass [mm]x^{2}[/mm] eigentlich eine Abbildung von [mm]\IR \to \IR^{+}[/mm]
> darstellt, und daher -1 gar kein Element des Bildes von
> [mm]x^{2}[/mm] ist.
Mit deiner "Argumentation" wäre jede Abbildung surjektiv! Natürlich darf rollroll [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] als Abbildung nach [mm] $\IR$ [/mm] betrachten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Fr 27.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo WWatson,
hier stimmt leider so einiges nicht...
> also, Deine Antworten sehen soweit schon ganz gut aus.
> Deine Antwort zu a) ist richtig. Deine Antwort zu b) stimmt
> so leider nicht, denn [mm]x^{2}[/mm] ist surjektiv.
Nein. [mm] $g\circ [/mm] f$ ist bei rollroll eine Funktion nach [mm] $\IR$ [/mm] und somit nicht surjektiv.
> Vielleicht hilft Dir, dass stetige Funktionen surjektiv und
> streng monotone Funktionen injektiv sind,
Stetige Funktionen sind doch nicht notwendig surjektiv...
> um bei b) ein
> Beispiel bzw. bei c) ii) ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
Bei c) ii) kann rollroll lange nach einem Gegenbeispiel suchen, denn die Aussage stimmt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Sa 28.04.2012 | | Autor: | WWatson |
Sorry, da hatte ich wohl so Einiges falsch in Erinnerung.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Fr 27.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rollroll,
> zu a) ich hätte g: IR --> IR, x--> [mm]x^2[/mm] gewählt, weil g
> nicht injektiv und f: [mm]IR^{+}_0[/mm] --> IR mit x--> [mm]\wurzel{x},[/mm]
> das ist injektiv und es gilt: g [mm]\circ[/mm] f= [mm]id_x[/mm]
>
> zu b) hier hätte ich g: IR --> IR, x--> x gewält, da
> surjektiv und f:IR-->IR mit [mm]x-->x^2[/mm] dann ist g [mm]\circ[/mm] f [mm]=x^2[/mm]
> und das ist nicht surjektiv.
>
> zu c)
> i) falsch. Gegenbeispiel: f: [mm]IR|_{ \ge 0}[/mm] --> IR, [mm]x-->x^2[/mm]
> ist injektiv, aber f.IR--IR, x--> [mm]x^2[/mm] ist nicht injektiv.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alles in Ordnung.
> ii) falsch. gegenbsp.: [mm]f:IR--IR|_{\ge 0}[/mm] --IR ist
> surjektiv, aber f:IR--IR,
> x--> [mm]x^2[/mm] ist nicht surjektiv.
[mm] $f|_M$ [/mm] gibt eine Einschränkung des Definitionsbereiches auf M an, nicht des Wertebereiches.
Die Aussage ii) stimmt.
> iii) falsch.
> Gegenbsp.: [mm]f\red{|_{\IR_{\ge0}}}:IR|_{\ge 0} --IR|_{\ge 0} ,x-->x^2[/mm] ist
> bijektiv, aber f:IR--IR, x--> [mm]x^2[/mm] ist nicht bijektiv
$f$ und [mm] $f|_{\IR_{\ge0}}$ [/mm] haben den gleichen Wertebereich. Hier also (damit dein Gegenbeispiel funktioniert): [mm] $\IR_{\ge0}$.
[/mm]
Zu iv): Weise nach, dass diese Aussage stimmt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Fr 27.04.2012 | | Autor: | rollroll |
Danke schonmal Tobias!
Könntest du mir bei ii) und iv) mal einen Beweisansatz geben? Bei der Surjektivität kommt es ja eigentlich gar nicht auf den Definitionsbereich sondern nur auf den wertebereich an, womit eine Einschränkung ja nicht weiterhilt, aber wie beweist man das?
und bei iii) habe ich nicht ganz verstanden, was du meinst...
Meinst du:
[mm] f|_{IR \ge 0}: IR|_{\ge 0} [/mm] --> [mm] IR|_{ \ge 0}, [/mm] x--> [mm] x^2 [/mm] ist bij. und f: IR --> [mm] IR|_{ \ge 0} [/mm] , x --> [mm] x^2 [/mm] ist nicht bijektiv?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Sa 28.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Könntest du mir bei ii) und iv) mal einen Beweisansatz
> geben? Bei der Surjektivität kommt es ja eigentlich gar
> nicht auf den Definitionsbereich sondern nur auf den
> wertebereich an, womit eine Einschränkung ja nicht
> weiterhilt, aber wie beweist man das?
Naja, wenn du den Definitionsbereich einschränkst, wird sich im Allgemeinen das Bild ändern. Insofern hat der Definitionsbereich schon Einfluss auf Surjektivität.
Was bei ii) und iv) zu tun ist, ergibt sich direkt aus den Definitionen von $f$ bzw. [mm] $f|_M$ [/mm] injektiv bzw. surjektiv.
Zu ii): Sei [mm] $y\in [/mm] Y$. Zu zeigen ist die Existenz eines [mm] $x\in [/mm] X$ mit $f(x)=y$.
Da [mm] $f|_M\colon M\to [/mm] Y$ surjektiv ist, existiert ...
Zu iv): Seien [mm] $x_1,x_2\in [/mm] M$ mit [mm] $f|_M(x_1)=f|_M(x_2)$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $x_1=x_2$.
[/mm]
Wie sind [mm] $f|_M(x_1)$ [/mm] und [mm] $f|_M(x_2)$ [/mm] definiert? Was liefert dann die Injektivität von f?
> und bei iii) habe ich nicht ganz verstanden, was du
> meinst...
> Meinst du:
>
> [mm]f|_{IR \ge 0}: IR|_{\ge 0}[/mm] --> [mm]IR|_{ \ge 0},[/mm] x--> [mm]x^2[/mm] ist
> bij. und f: IR --> [mm]IR|_{ \ge 0}[/mm] , x --> [mm]x^2[/mm] ist nicht
> bijektiv?
Ja.
Zwei kleine Hinweise: Es heißt [mm] $\IR_{\ge0}$, [/mm] nicht [mm] $\IR|_{\ge0}$. [/mm] Du solltest f einführen, BEVOR du [mm] $f|_{IR_{\ge 0}}$ [/mm] betrachtest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Sa 28.04.2012 | | Autor: | rollroll |
Zu ii): Sei y [mm] \in [/mm] Y. Zu zeigen ist die Existenz eines x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y .
Da $ [mm] f|_M\colon M\to [/mm] Y $ surjektiv ist, existiert ein m [mm] \in [/mm] M mit f(m)=y und da M Teilmenge von X ist, gibt es auch ein x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y. Geht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Sa 28.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Zu ii): Sei y [mm]\in[/mm] Y. Zu zeigen ist die Existenz eines x
> [mm]\in[/mm] X mit f(x)=y .
> Da [mm]f|_M\colon M\to Y[/mm] surjektiv ist, existiert ein m [mm]\in[/mm] M
> mit f(m)=y
> und da M Teilmenge von X ist, gibt es auch ein x
> [mm]\in[/mm] X mit f(x)=y. Geht das so?
Ja. Am besten das x konkret angeben, nämlich x=m. Also z.B. so:
"und da M Teilmenge von X ist, gilt [mm] $x:=m\in [/mm] X$."
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 29.04.2012 | | Autor: | rollroll |
also nochmal zu iv)
Seien mit [mm] x_1 [/mm] , [mm] x_2 \in [/mm] M mit $ [mm] f|_M(x_1)=f|_M(x_2) [/mm] $. Zu zeigen ist [mm] x_1=x_2.
[/mm]
[mm] f|_M(x_1)=f(x) \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M und dasselbe für [mm] f_M(x_2) [/mm] und da f injektiv ist gilt:
[mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] --> [mm] x_1=x_2 [/mm] und da x [mm] \in [/mm] M folgt auch aus $ [mm] f|_M(x_1)=f|_M(x_2) [/mm] $ --> [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] da M Teilmenge von X ist.
Geht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> also nochmal zu iv)
>
> Seien mit [mm]x_1[/mm] , [mm]x_2 \in[/mm] M mit [mm]f|_M(x_1)=f|_M(x_2) [/mm]. Zu
> zeigen ist [mm]x_1=x_2.[/mm]
>
> [mm]f|_M(x_1)=f(x) \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M und dasselbe für [mm]f_M(x_2)[/mm]
> und da f injektiv ist gilt:
> [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm] --> [mm]x_1=x_2[/mm] und da x [mm]\in[/mm] M folgt auch aus
> [mm]f|_M(x_1)=f|_M(x_2)[/mm] --> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] da M Teilmenge von X
> ist.
>
> Geht das so?
Ja.
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