Komposition aff. Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Di 04.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Ich soll beweisen, dass die Komposition affiner Abbildungen wieder affin ist. Hab neben eigenen Versuchen auch in einigen Büchern und im Netz nachgeschlagen und hab verschiedene Ansätze gefunden:
Seien f,g affine Abbildungen. Dann existierern hierzu Matrizen und Vektoren mit
f(x)=Ax+b und g(x)=Bx+c für alle x.
(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=g(f(x))=B(Ax+b)+c=(AB)x+(Ac+b), vorausgesetzt die Produkte sind wohldefiniert.
Hier verstehe ich den letzten Schritt nicht ganz. Darf man das einfach so machen.
Seien tau:X [mm] \to [/mm] X und sigma: X [mm] \to [/mm] X affine Abbildungen. Dann gilt
r [mm] \mapsto [/mm] M*r+t r [mm] \mapsto [/mm] N*r+s
tau [mm] \circ [/mm] sigma: X [mm] \to [/mm] X
r [mm] \mapsto [/mm] (N*M)*r+(N*t+s)
Auch hier ist mir der letzte Schritt nicht ganz klar. Wie kommt man auf so was?
Ich hätte das ganz anders angestellt. Ich habe mir zwei affine Abbildungen
phi:V [mm] \to [/mm] W und psi: W [mm] \to [/mm] U vorgegeben mit phi [mm] =tau_{w1} \circ f_{1} [/mm] und psi= [mm] tau_{w2} \circ f_{2}. [/mm] Aber hier komme ich nun nicht weiter. Ich muss ja jetzt zu meinen gegebene Abbildungen ein w [mm] \in [/mm] U und eine lineare Abbildunge f: V [mm] \to [/mm] U finden, sodass phi [mm] \circ psi=tau_{w} \circ [/mm] f gilt. Aber wie mach ich das?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Di 04.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Hier verstehe ich den letzten Schritt nicht ganz. Darf man
> das einfach so machen.
Wieso "einfach"? Man setzt jeweils für f und g die Darstellung ein - und dann rechnet man drauf los. Wo ist das Problem?
> Auch hier ist mir der letzte Schritt nicht ganz klar. Wie
> kommt man auf so was?
Einsetzen der Definition für f und g, wenn [m]f(x)=x^2[/m] ist und [m]g(x)=x-1[/m], dann ist [m]g(f(x))=x^2-1[/m]. mal ein ganz ausfürhliches Beispiel für: Einsetzen der Definition.
> Ich muss ja jetzt zu meinen gegebene
> Abbildungen ein w [mm]\in[/mm] U und eine lineare Abbildunge f: V
> [mm]\to[/mm] U finden, sodass phi [mm]\circ psi=tau_{w} \circ[/mm] f gilt.
> Aber wie mach ich das?
Die werden ja oben gefunden ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Di 04.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Danke dir, hab' kapiert!
Ist ja eigenlich ganz einfach.
liebe Grüße
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