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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Mo 10.04.2006 | | Autor: | dsan |
| Aufgabe | f:X [mm] \to [/mm] Y , g:Y [mm] \to [/mm] X seien Abbildungen.
Zeige, dass f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] f ist bijektiv [mm] \gdw [/mm] f und g sind bijektiv |
Komme hier nicht weiter da ich überhaupt nicht weiss ob dass der richtige Ansatz ist :
Beweis in zwei Richtungen :
[mm] \Leftarrow [/mm] : Wenn f und g bijektiv sind, dann gilt f(X) = Y und g(Y) = X
und somit auch f(g(f(X))) = f(g(Y)) = f(X) = Y - also ist f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] f : X [mm] \to [/mm] Y bijektiv.
[mm] \Rightarrow [/mm] : mit f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] f = (f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] f = f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f ) :
f [mm] \circ [/mm] g injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g injektiv
f [mm] \circ [/mm] g surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f surjektiv
g [mm] \circ [/mm] f injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv
g [mm] \circ [/mm] f surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f surjektiv
Zusammenfassend : f und g sind injektiv und surjektiv - also bijektiv
Hoffe ich bin nicht völlig daneben - vorab vielen Dank für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Mo 10.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\Leftarrow[/mm] : Wenn f und g bijektiv sind, dann gilt f(X) =
> Y und g(Y) = X
> und somit auch f(g(f(X))) = f(g(Y)) = f(X) = Y - also ist
> f [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] f : X [mm]\to[/mm] Y bijektiv.
So, und wo gehst du auf die Injektivität ein? Das ist doch blos erstmal nur die Surjektivität.
> [mm]\Rightarrow[/mm] : mit f [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] f = (f [mm]\circ[/mm] g) [mm]\circ[/mm] f
> = f [mm]\circ[/mm] (g [mm]\circ[/mm] f ) :
>
> f [mm]\circ[/mm] g injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] g injektiv
Warum ist das linke injektiv?
> f [mm]\circ[/mm] g surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] f surjektiv
> g [mm]\circ[/mm] f injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] f injektiv
> g [mm]\circ[/mm] f surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] f surjektiv
Warum ist das linke surjektiv?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mo 10.04.2006 | | Autor: | dsan |
Hallo, erst ma danke für die schnelle Antwort.
Das mit der fehlenden Bedingung hatte ich total übersehen,
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X : y = f(g(f(x)))
Im zweiten Teil kann ich das Problem immer noch nicht lösen, da ich keine Bedingung für die Bijektivität von g formulieren kann.
Danke für eure Geduld
Grüsse
dsan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Di 11.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Das mit der fehlenden Bedingung hatte ich total übersehen,
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X : y = f(g(f(x)))
Häh?
> Im zweiten Teil kann ich das Problem immer noch nicht
> lösen, da ich keine Bedingung für die Bijektivität von g
> formulieren kann.
Wie bist du denn auf den ersten Ansatz überhaupt gekommen?!?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Mi 19.04.2006 | | Autor: | dsan |
Hallo SEcki,
danke für Deine Fragen und Einwände - nach deiner zweiten Antwort isses es mir dann klar geworden, dass ich auch die Umkehrabbildung benutzen kann wenn schon nachgewiesen wurde, dass f bijektiv ist.
Dankschön nochemol
mfG
dsan
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