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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 So 12.08.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Schreiben Sie die Funktion
[mm] g(x)=4x^2-20x+60
[/mm]
als Komposition geeigneter Translationen und Skalierungen und
der Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] |
Hallo,
Ich habe nur eine kurze Frage zum Lösungsansatz bei dieser Aufgabe.
Man würde hier doch als erstes die Gleichung
[mm] y=4x^2-20x+60
[/mm]
durch 4 teilen und anschließend mithilfe der Quadratischen Ergänzung das ganze zu [mm] (a+b)^2-c [/mm] (nur allgemeines Beispiel) umformen und dies dann als Komposition von Translationen und Skalierungen hinschreiben, oder?
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Hallo,
mache es doch mal. Es ist alles richtig. ich würde nur nicht sagen, dass durch 4 dividiert werden soll, sondern es wird zunächst die 4 ausgeklammert. Die allgemeine Form (Scheitelform) lautet dann:
[mm] f(x)=a*(x-b)^2+c
[/mm]
wobei das mit den Vorzeichen im Prinzip egal ist, so lange da nur Variablen stehen. In meiner Version sind die Vorzeichen 'günstiger' gewählt sind, da der Scheitelpunkt S der Parabel dann die Koordinaten S(b|c) besitzt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Di 14.08.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
Geht das denn nicht auch mit der Quadratischen Ergänzung?
[mm] 4x^2-20x+60=0 [/mm] |:4
[mm] \gdw x^2-5x+15=0 [/mm] |-15
[mm] \gdw x^2-5x=-15
[/mm]
[mm] \gdw x^2-5x+6,25=-8,75
[/mm]
[mm] \gdw (x-2,5)^2=-8,75 [/mm] |+8,75
[mm] \gdw (x-2,5)^2+8,75=0
[/mm]
Dies ist aber falsch....
Wo ist mein Fehler? O.o
Wenn es auch mit der quadratischen Ergänzung geht, würde ich es gerne damit machen.
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Hallo,
> Geht das denn nicht auch mit der Quadratischen Ergänzung?
Doch, aber du hast dann genau den Fehler gemacht, vor dem ich dich gewarnt habe: du darfst eben nicht durch 4 dividieren (denn du betrachtest eine Funktion, und keine Gleichung!).
So geht es richtig:
[mm] g(x)=4x^2-20x+60
[/mm]
[mm] =4*(x^2-5x+15)
[/mm]
[mm] =4*(x^2-5x+6.25+15-6.25)
[/mm]
[mm] =4*(x-2.5)^2+35
[/mm]
Und jetzt kannst du damit die eigentliche Frage beantworten.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Di 14.08.2012 | | Autor: | Jack159 |
Ahhh so ging das....Stimt, danke dir vielmals ;)
Die Lösung der Aufgabe lautet dann:
[mm] g(x)=4\cdot{}(x-2.5)^2+35
[/mm]
[mm] f(x)=x^2
[/mm]
s(x):=4x
t1(x):=x-2,5
t2(x):=x+35
[mm] g1(x):=f(t1(x))=f(x-2,5)=(x-2,5)^2
[/mm]
[mm] g2(x):=s(g1(x))=s((x-2,5)^2)=4(x-2,5)^2
[/mm]
[mm] g3(x):=t2(g2(x))=t2(4(x-2,5)^2)=4(x-2,5)^2+35
[/mm]
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Hallo Jack,
> Ahhh so ging das....Stimt, danke dir vielmals ;)
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> Die Lösung der Aufgabe lautet dann:
>
>
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> [mm]g(x)=4\cdot{}(x-2.5)^2+35[/mm]
>
> [mm]f(x)=x^2[/mm]
>
> s(x):=4x
>
> t1(x):=x-2,5
>
> t2(x):=x+35
>
> [mm]g1(x):=f(t1(x))=f(x-2,5)=(x-2,5)^2[/mm]
>
> [mm]g2(x):=s(g1(x))=s((x-2,5)^2)=4(x-2,5)^2[/mm]
>
> [mm]g3(x):=t2(g2(x))=t2(4(x-2,5)^2)=4(x-2,5)^2+35[/mm]
Das stimmt!
Gruß
schachuzipus
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