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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Weisen Sie nach, dass [mm] 10^x=e^{x*ln10} [/mm] gilt für alle x>0.
Sei [mm] z(x)=10^x [/mm] . Schreiben Sie z als Komposition zweier Funktionen. |
Hallo,
Zunächst:
Ich weiß nicht, ob das oben eine einzige Aufgabe ist, oder 2 einzelne Aufgaben. Der Text dort oben steht zusammen unter "a)" auf meinem Aufgabenblatt.
Meine Frage bezieht sich nur auf den Teil: " Sei [mm] z(x)=10^x [/mm] . Schreiben Sie z als Komposition zweier Funktionen."
Den ersten Teil habe ich bereits gelöst:
[mm] 10^x=e^{x*ln10}
[/mm]
[mm] \gdw x*ln10=ln10^x
[/mm]
[mm] \gdw ln10^x=ln10^x
[/mm]
Nun zur eigentlichen Frage:
[mm] z(x)=10^x [/mm] soll als Komposition zweier Funktionen geschrieben werden.
Also z.b. so: z:=h [mm] \circ [/mm] g ???
(h und g habe ich natürlich noch nicht bestimmt, ist ja nur erstmal ein Beispiel womit ich fragen will, ob das so in der Form gefordert ist)
Falls ja, hängt das mit der Beweisaufgabe aus dem 1. Satz zusammen?
Hier ist mein erster Lösungsansatz:
[mm] z(x)=10^x
[/mm]
g(10)=10
[mm] h(x)=x^y
[/mm]
z:=h [mm] \circ [/mm] g = h(g(10))
Ob das richtig ist?
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> Weisen Sie nach, dass [mm]10^x=e^{x*ln10}[/mm] gilt für alle x>0.
> Sei [mm]z(x)=10^x[/mm] . Schreiben Sie z als Komposition zweier
> Funktionen.
> Hallo,
>
> Zunächst:
> Ich weiß nicht, ob das oben eine einzige Aufgabe ist,
> oder 2 einzelne Aufgaben. Der Text dort oben steht zusammen
> unter "a)" auf meinem Aufgabenblatt.
Hallo,
ich denke, daß die beiden Arbeitsaufträge nicht grundlos gemeinsam unter a) stehen.
> Meine Frage bezieht sich nur auf den Teil: " Sei [mm]z(x)=10^x[/mm]
> . Schreiben Sie z als Komposition zweier Funktionen."
> Den ersten Teil habe ich bereits gelöst:
>
> [mm]10^x=e^{x*ln10}[/mm]
>
> [mm]\gdw x*ln10=ln10^x[/mm]
>
> [mm]\gdw ln10^x=ln10^x[/mm]
>
Deine Umformungen sind richtig.
Sie setzen natürlich voraus, daß man mitden Logarithmusgesetzen vertraut ist. Waren diese schon dran?
Ich hätte anders argumentiert: der ln ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, und daher ist [mm] e^{ln10}=10.
[/mm]
Also ist [mm] 10^x=(e^{ln10})^x=e^{x*ln10}.
[/mm]
>
>
> Nun zur eigentlichen Frage:
> [mm]z(x)=10^x[/mm] soll als Komposition zweier Funktionen
> geschrieben werden.
>
> Also z.b. so: z:=h [mm]\circ[/mm] g ???
Ja.
> (h und g habe ich natürlich noch nicht bestimmt, ist ja
> nur erstmal ein Beispiel womit ich fragen will, ob das so
> in der Form gefordert ist)
> Falls ja, hängt das mit der Beweisaufgabe aus dem 1. Satz
> zusammen?
Ja, die soll Dir eine Idee liefern.
>
>
> Hier ist mein erster Lösungsansatz:
> [mm]z(x)=10^x[/mm]
>
> g(10)=10
Du definierst hier keine Funktion. Du mußt doch für jede reelle Zahl x erklären, was g(x) sein soll.
Ich denke, Du meinst es so: g(x)=10.
>
> [mm]h(x)=x^y[/mm]
>
> z:=h [mm]\circ[/mm] g = h(g(10))
Wenn Du jetzt sagst, es soll sein [mm] z:=h\circ [/mm] g, dann muß sein
[mm] z(x)=h\circ [/mm] g(x)=h(g(x)).
Jetzt gucken wir mal. g(x)=10, also haben wir z(x)=h(10).
Nun müssen wir in h(x) fürs x die 10 einsetzen, bekommen also [mm] z(x)=10^y.
[/mm]
Das war ein Griff ins Klo! Es soll ja [mm] 10^x [/mm] herauskommen.
>
> Ob das richtig ist?
Nein.
Vergegenwärtige Dir jetzt nochmal, daß [mm] z(x)=10^x=e^{x*ln(10)}, [/mm] also
[mm] z(x)=e^{x*ln(10)}.
[/mm]
Schreibe dies als Verkettung von [mm] f(x)=e^{x} [/mm] und einer passenden Skalierung g(x)=....
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
> Vergegenwärtige Dir jetzt nochmal, daß
> [mm]z(x)=10^x=e^{x*ln(10)},[/mm] also
> [mm]z(x)=e^{x*ln(10)}.[/mm]
> Schreibe dies als Verkettung von [mm]f(x)=e^{x}[/mm] und einer
> passenden Skalierung g(x)=....
Hallo,
Danke für deinen Hinweis.
Hier nun meine verbesserte Version (Müsste jetzt stimmen, oder?):
[mm] f(x)=e^x
[/mm]
s(x)= x^ln10
h:= s [mm] \circ [/mm] f = s(f(x))
s(f(x)) = [mm] s(e^x) [/mm] = [mm] (e^x)^{ln10} [/mm] = e^(x*ln10) = [mm] 10^x
[/mm]
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> Hallo,
> Danke für deinen Hinweis.
>
> Hier nun meine verbesserte Version (Müsste jetzt stimmen,
> oder?):
>
> [mm]f(x)=e^x[/mm]
>
> s(x)= x^ln10
>
> h:= s [mm]\circ[/mm] f = s(f(x))
>
> s(f(x)) = [mm]s(e^x)[/mm] = [mm](e^x)^{ln10}[/mm] = e^(x*ln10) = [mm]10^x[/mm]
Hallo,
in der Tat, das stimmt.
Meine Pläne waren übrigens anders:
[mm] f(x)=e^x
[/mm]
g(x)=x*ln(10)
[mm] z=f\circ [/mm] g.
LG Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
> Meine Pläne waren übrigens anders:
>
> [mm]f(x)=e^x[/mm]
> g(x)=x*ln(10)
>
> [mm]z=f\circ[/mm] g.
Ah ok so ginge es auch^^
Danke dir vielmals!
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