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| Aufgabe | A*x = b
nehmen wir an, wir haben eine approximative Lösung [mm] $\widetilde{x}$
[/mm]
Warum liegt dann die Lösung x in dem Intervall
[mm] $\delta [/mm] = conditionszahl(A)*100$
I = [mm] $\widetilde{x} \pm \delta$
[/mm]
Was hat die Konditionszahl hier zu suchen
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Hallo,
ausnahmsweise suche ich mal dringend eine Aufklärung zu dem obigen Sachverhalt.
Danke,
Alice
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Mi 12.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Alice!
> A*x = b
>
> nehmen wir an, wir haben eine approximative Lösung
> [mm]\widetilde{x}[/mm]
> Warum liegt dann die Lösung x in dem Intervall
>
> [mm]\delta = conditionszahl(A)*100[/mm]
>
> I = [mm]\widetilde{x} \pm \delta[/mm]
>
> Was hat die Konditionszahl hier zu suchen
Gute Frage, das kann so alles nicht sein: [mm] \delta [/mm] ist doch eine Zahl, und [mm] \widetilde{x} [/mm] ist ein Vektor, jedenfalls wenn A eine echte Matrix ist, und die kann man doch nicht einfach addieren, oder?
Und was genau ist eine approximative Lösung?
Da fehlen irgendwelche Voraussetzungen, denk ich mal so...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Alice,
2 Dinge machen mich stutzig. (Nehmen wir mal an das [mm] \delta [/mm] ist ein Vektor mit den entsprechenden Einträgen. Wenn man da die Konditionszahl mit 100 multipliziert kommen doch irrwitzig große Fehler raus.
Konditionszahl heißt ja wie wirkt sich eine Störung der Eingangsdaten auf das Ergebnis aus.
Betrachtet man also [mm]\tilde x=(A+\delta A)^{-1}b[/mm] und schaut sich an:
[mm] \tilde x -x=(A+\delta A)^{-1}b-A^{-1}b=((A+\delta A)^{-1}(I-(A+\delta A)A^{-1}))b[/mm]
[mm]((A+\delta A)^{-1}(I-(A+\delta A)A^{-1}))b=((A+\delta A)^{-1}(A-(A+\delta A))A^{-1})b=(A+\delta A)^{-1}\delta AA^{-1}b[/mm]
Das Störungslemma brauchen wir noch:
[mm] ||(A+\delta A)^{-1}||\le\bruch{||A^{-1}||}{1-||A^{-1}||*||\delta A||}
[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm] ||\tilde [/mm] x [mm] -x||=||(A+\delta A)^{-1}\delta AA^{-1}b||\le\bruch{||A^{-1}||}{1-||A^{-1}||*||\delta A||}*||\delta A||*||A^{-1}b||
[/mm]
[mm] \bruch{||\tilde x -x||}{||A^{-1}b||}\le\bruch{||A^{-1}||*||A||}{1-||A^{-1}||*||\delta A||}*\bruch{||\delta A||}{||A||}
[/mm]
[mm]\bruch{||\tilde x -x||}{||x||}\le cond(A)\bruch{1}{1-||A^{-1}||*||\delta A||}*\bruch{||\delta A||}{||A||}[/mm]
Nun erkennst Du vllt. für [mm] \bruch{1}{1-||A^{-1}||*||\delta A||} [/mm] den Grenzwert der geometrischen Reihe nun kann man die geom. Reihe hierfür wieder einsetzen und Terme höherer Ordnung weglassen dann entspricht der relative Fehler von x ungefähr dem relativen Fehler von A mal Konditionszahl. Die Bestimmung eines solchen Intervalls sollte zumindest von ||x|| und vom Fehler der Matrix abhängen.
viele Grüße
mathemaduenn
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