Konditionszahlen, Nullstelle < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] x^{3}+px+q=0 [/mm] eine Gleichung dritten Grades in der reduzierten Form mit p, q [mm] \in \IR, [/mm] deren reelle Lösungen man wie folgt berechnen kann (Cardanischen Formeln):
(1) Ist die Diskriminante [mm] D:=4p^{3}+27q^{2} [/mm] > 0, so existiert genau eine reele Lösung
[mm] x_{1}=\wurzel[3]{-(\bruch{q}{2})+\wurzel{(\bruch{q}{2})^{2}+(\bruch{p}{3})^{3}}}+\wurzel[3]{-(\bruch{q}{2})+\wurzel{(\bruch{q}{2})^{2}+(\bruch{p}{3})^{3}}}
[/mm]
(2) Ist D=0, so existiert genau zwei reele Lösungen
[mm] x_{1}=\bruch{-3q}{2p}, x_{2}=\bruch{3q}{p}
[/mm]
(3) Ist D<0, so existieren genau drei reelle Lösungen
[mm] x_{1}=-wcos(\alpha+\bruch{\pi}{3}), [/mm]
[mm] x_{2}= wcos\alpha, [/mm]
[mm] x_{3}=-wcos(\alpha-\bruch{\pi}{3}),
[/mm]
mit w:= [mm] \wurzel{-(\bruch{4}{3})*p}, \alpha:=\bruch{1}{3}*arccos(-(\bruch{q}{2})\wurzel{-(\bruch{27}{p^{3}})})
[/mm]
a) Berechnen Sie näherungsweise im Falle D>0 die relativen Konditionszahlen der Nullstelle [mm] x_{1} [/mm] in Abhängigkeit der Koeffizienten p und q.
b) Beschreiben Sie, welche numerischen Schwierigkeiten im Falle D=0 auftreten können. Betrachten Sie dazu die Gleichung [mm] x^{3}-\wurzel[3]{3x}+\bruch{2}{3}=0. [/mm] |
Hallo. Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Weiß nicht wirklich wie ich vorgehen soll. Würde mich über eure Hilfe freuen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Sa 03.05.2008 | | Autor: | ChrisCI |
Hallo
Zur a:
Die Definitonen der relativen Konditionszahlen im eindimensionalen sind:
[mm]\kappa_{rel} = \left|\phi' (p)\right| \cdot \bruch{\left|p\right|}{\left|\phi(p)\right|} = \left|x_1' (p)\right| \cdot \bruch{\left|p\right|}{\left|x_1(p)\right|} [/mm]
bzw.
[mm]\kappa_{rel} = \left|\phi' (q)\right| \cdot \bruch{\left|q\right|}{\left|\phi(q)\right|} = \left|x_1' (q)\right| \cdot \bruch{\left|q\right|}{\left|x_1(q)\right|}[/mm]
Ich schlage Dir folgendes vor:
Du hast ja gegeben, dass die Determinante größer null ist; benutze dass also, um p bzw. q ztu ersetzen, bevor du die Konditionszahlen ausrechnest.
Ciao
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | hallo Chris, danke sehr für deine Antwort. |
Könntest du oder jemand anderer im forum mir bei den Ableitungen von x1, x2 helfen? Ich weiß zwar wie man eine Wurzel ableitet, weiß aber nicht wie man die wurzel von wurzel ableitet. Ich danke euch im Voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 07.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mi 07.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
