Konditionszahlen f(x1,x2) < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:57 Fr 20.06.2008 | | Autor: | determinante |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die relativen und absoluten Konditionszahlen bei der Funktionsauswertung von [mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] - [mm] x_2)/x_1.
[/mm]
Bei welchen Werten für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ist das Problem schlecht konditioniert? |
Hallo,
bei genannter Aufgabe komme ich nicht so richtig weiter. Vielleicht kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen bzw. ich mit eurer Hilfe zu einer guten Lösung gelangen 
Die Formeln für die relative und absolute Konditionszahl ist mir bekannt. Ich habe daher die erste Ableitung gebildet.
Ich habe erhalten:
1. Ableitung nach [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] * [mm] x_1^-2
[/mm]
1. Ableitung nach [mm] x_2 [/mm] = [mm] -1/x_2
[/mm]
Untersuche ich jetzt die 2 Ableitungen getrennt in den bekannten Formeln für relative und absolute Konditionszahl? Wie muss ich nun weiter vorgehen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Fr 20.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
bei der Ableitung nach [mm] x_{2} [/mm] muss im Nenner [mm] x_{1} [/mm] stehen.
LG djmatey
|
|
|
| |
|
Danke für den Hinweis - ich hatte mich hier verschrieben Auf meinem Blatt Papier hatte ich [mm] x_1 [/mm] stehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Fr 20.06.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
meiner Meinung nach, sind zuerst die Verstärkungsfaktoren zu berechnen.
Es sei [mm] f(x_1,x_2)=\bruch{x_1-x_2}{x_1}, [/mm] dann gilt für die Verstärkungsfaktoren:
[mm] f_{x_1}(x_1,x_2)=\bruch{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_1,x_2)*\bruch{x_1}{f(x_1,x_2)}=...
[/mm]
Analog:
[mm] f_{x_2}(x_1,x_2)=\bruch{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_1,x_2)*\bruch{x_2}{f(x_1,x_2)}=...
[/mm]
[mm] K_{relativ}=max\{|f_{x_1}(x_1,x_2)|,|f_{x_2}(x_1,x_2)|\}.
[/mm]
MfG barsch
|
|
|
| |
|
Ok, soweit erstmal danke. Den Verstärkungsfaktor benötige ich ja für die Berechnung der relativen Konditionszahl. Du hast am Ende noch eine Max-Formulierung geschrieben - die habe ich bisher noch nie irgendwie in diesem Zusammenhang gelesen.
Mein Problem ist jetzt noch das folgende. Ich habe zwar die Formeln und auch die Funktionen, aber kein Intervall vorgegeben.
Löse ich jetzt die Aufgabe via diversen Fallunterscheidungen oder wie löse ich die geforderte Aufgabenstellung?
Und wie bewerte ich die absolute Konditionszahl? Mache ich da Fallunterscheidungen für jede der zwei Ableitungen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 So 22.06.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Ok, soweit erstmal danke. Den Verstärkungsfaktor benötige
> ich ja für die Berechnung der relativen Konditionszahl. Du
> hast am Ende noch eine Max-Formulierung geschrieben - die
> habe ich bisher noch nie irgendwie in diesem Zusammenhang
> gelesen.
mhhhh. Dein Ziel ist ja, mit den Verstärkungsfaktoren eine (eventuelle) obere Schranke zu finden. Hat man eine obere Schranke gefunden, so ist das Problem gut konditioniert. Ich will es einmal versuchen vorzurechnen, evtl. wird es dann klarer.
So, der erste Verstärkungsfaktor:
[mm] f_{x_1}(x_1,x_2)=\bruch{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_1,x_2)\cdot{}\bruch{x_1}{f(x_1,x_2)}=\bruch{x_2}{x_1^2}*\bruch{x_1}{\bruch{x_1-x_2}{x_1}}=\bruch{x_2}{x_1^2}*x_1*\bruch{x_1}{x_1-x_2}=\bruch{x_2}{x_1-x_2}
[/mm]
Also:
[mm] |f_{x_1}(x_1,x_2)|=|\bruch{x_2}{x_1-x_2}|
[/mm]
In vielen Fällen kann man durch Abschätzen eine obere Schranke finden, was mir hier allerdings nicht gelingt.
Bei der Bestimmung des 2. Verstärkungsfaktor kann man auch so vorgehen.
Wir untersuchen im Folgenden einfach mal das Verhalten für [mm] x_1\approx{x_2}.
[/mm]
Jetzt steht in der Aufgabe
> Bei welchen Werten für $ [mm] x_1 [/mm] $ und $ [mm] x_2 [/mm] $ ist das Problem schlecht konditioniert?
Sehen wir uns stellvertretend den 1. Vertsärkungsfaktor an:
[mm] |f_{x_1}(x_1,x_2)|=|\bruch{x_2}{x_1-x_2}|\to\infty [/mm] für [mm] x_1\approx{x_2}.
[/mm]
Für [mm] x_1\approx{x_2} [/mm] ist das Problem demnach schlecht konditioniert.
Selbes müsste ersichtlich sein, wenn du dir den 2. Vertsärkungsfaktor ansiehst.
Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig weiterhelfen. Meiner Meinung nach keine gute Funktion an der man das exeplarisch gut erklären kann.
Vielleicht hilft dir das weiter ![[]](/images/popup.gif) Kondition bei Wikipedia.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Di 24.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
