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Konfi-I. Reifen Matheabi 2024: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Do 08.05.2025
Autor: hase-hh

Aufgabe
Auf einem Prüfstand wird für einen Reifen eines Lastenrades die Strecke gemessen, die der Reifen gefahren werden kann, bis er unbrauchbar wird. Überschreitet der Reifen dabei eine gewisse Mindeststrecke, so wird er „langlebig“ genannt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Reifen langlebig ist, wird im Folgenden mit p bezeichnet. In einer Stichprobe aus 450 Reifen befinden sich 416 langlebige Reifen.

c1) Geben Sie den Anteil der langlebigen Reifen in der Stichprobe in Prozent an.
c2) Prüfen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit p = 0;9 mit dem Stichprobenergebnis 416 auf einem Signifikanzniveau von 5 % verträglich ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn das Stichprobenergebnis im 95 %-Annahmebereich der Hypothese H: p = 0;9 liegt.

c3) Bestimmen Sie zu dem Stichprobenergebnis näherungsweise die obere Grenze des zugehörigen 95 %-Konfidenzintervalls für den Wert von p.

Moin Moin,

ich verstehe die Musterlösung bei c3)  nicht. Vielleicht kann mir das jemand erläutern?!


zu c1)  Gut, das ist [mm] \bruch{416}{450} [/mm] = [mm] 0,92\overline{4} [/mm]

bzw. [mm] \approx [/mm] 92,44 %.


zu c2) Wenn H: p= 0,9 gilt, dann ist der Annahmebereich [mm] [\mu [/mm] - [mm] 1,96*\sigma; \mu [/mm] + [mm] 1,96*\sigma] [/mm]

[mm] \mu [/mm] = n*p  = 450*0,9 = 405

[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{n*p*(1-p)} [/mm] = [mm] \wurzel{450*0,9*0,1} \approx [/mm] 6,36

[405 - 1,96*6,36 ; 405 + 1,96*6,36]

[392,53; 417,47]  

[393;417]   => 416 liegt im Annahmebereich von H.


zu c3)

Das 95% Konfidenzintervall   wäre hier [p - [mm] 1,96*\bruch{\sigma}{n}; [/mm] p + [mm] 1,96*\bruch{\sigma}{n}] [/mm]

bzw. [p - [mm] 1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}}; [/mm] p + [mm] 1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}}] [/mm]

richtig?

Dann müsste gelten:  p + [mm] 1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{450}} \le [/mm] 0,975

richtig?

=> [mm] p_{max} [/mm] = 0,956


Hier die Musterlösung:


|  [mm] \bruch{416}{450} [/mm] - p | = [mm] 1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}} [/mm]

Für p > [mm] \bruch{416}{450} [/mm] liefert dies die Lösung p [mm] \approx [/mm] 0;945 als Obergrenze des 95 %-Konfidenzintervalls.


Wie kommt man auf [mm] p_{max} \approx [/mm] 0,945   ???


Was ich mache falsch?

Danke & Gruß!




        
Bezug
Konfi-I. Reifen Matheabi 2024: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Do 08.05.2025
Autor: statler


> Auf einem Prüfstand wird für einen Reifen eines
> Lastenrades die Strecke gemessen, die der Reifen gefahren
> werden kann, bis er unbrauchbar wird. Überschreitet der
> Reifen dabei eine gewisse Mindeststrecke, so wird er
> „langlebig“ genannt.
>  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig
> ausgewählter Reifen langlebig ist, wird im Folgenden mit p
> bezeichnet. In einer Stichprobe aus 450 Reifen befinden
> sich 416 langlebige Reifen.
>  
> c1) Geben Sie den Anteil der langlebigen Reifen in der
> Stichprobe in Prozent an.
> c2) Prüfen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit p = 0;9 mit dem
> Stichprobenergebnis 416 auf einem Signifikanzniveau von 5 %
> verträglich ist.
> Das ist genau dann der Fall, wenn das Stichprobenergebnis
> im 95 %-Annahmebereich der Hypothese H: p = 0;9 liegt.
>  
> c3) Bestimmen Sie zu dem Stichprobenergebnis
> näherungsweise die obere Grenze des zugehörigen 95
> %-Konfidenzintervalls für den Wert von p.
>  Moin Moin,
>  
> ich verstehe die Musterlösung bei c3)  nicht. Vielleicht
> kann mir das jemand erläutern?!
>  
>
> zu c1)  Gut, das ist [mm]\bruch{416}{450}[/mm] = [mm]0,92\overline{4}[/mm]
>  
> bzw. [mm]\approx[/mm] 92,44 %.
>  
>
> zu c2) Wenn H: p= 0,9 gilt, dann ist der Annahmebereich
> [mm][\mu[/mm] - [mm]1,96*\sigma; \mu[/mm] + [mm]1,96*\sigma][/mm]
>
> [mm]\mu[/mm] = n*p  = 450*0,9 = 405
>  
> [mm]\sigma[/mm] = [mm]\wurzel{n*p*(1-p)}[/mm] = [mm]\wurzel{450*0,9*0,1} \approx[/mm]
> 6,36
>  
> [405 - 1,96*6,36 ; 405 + 1,96*6,36]
>
> [392,53; 417,47]  
>
> [393;417]   => 416 liegt im Annahmebereich von H.
>

Man müßte nach außen runden, also [392, 418], aber dann liegt 416 erst recht im Annahmebereich.

>
> zu c3)
>
> Das 95% Konfidenzintervall   wäre hier [p -
> [mm]1,96*\bruch{\sigma}{n};[/mm] p + [mm]1,96*\bruch{\sigma}{n}][/mm]
>
> bzw. [p - [mm]1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}};[/mm] p +
> [mm]1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}}][/mm]
>
> richtig?
>  
> Dann müsste gelten:  p +
> [mm]1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{450}} \le[/mm] 0,975
>
> richtig?
>
> => [mm]p_{max}[/mm] = 0,956
>  
>
> Hier die Musterlösung:
>  
>
> |  [mm]\bruch{416}{450}[/mm] - p | =
> [mm]1,96*\wurzel{\bruch{p*(1-p)}{n}}[/mm]
>  
> Für p > [mm]\bruch{416}{450}[/mm] liefert dies die Lösung p
> [mm]\approx[/mm] 0;945 als Obergrenze des 95 %-Konfidenzintervalls.
>
>
> Wie kommt man auf [mm]p_{max} \approx[/mm] 0,945   ???

Ich kriege 0,942 als Obergrenze für den Konfidenzbereich. Es gibt hier ein wahres p und ein geschätztes [mm] $\hat [/mm] p$, es ist [mm] $\hat [/mm] p = [mm] \frac{416}{450}$ [/mm] (die Standardabweichung ist übrigens auch aus dem Versuch geschätzt). Für einen exakten Konfidenzbereich gibt es keine geschlossene Formel. Siehe dazu auch []Wikipedia.

>

Gruß aus HH
Dieter

Bezug
                
Bezug
Konfi-I. Reifen Matheabi 2024: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Do 08.05.2025
Autor: hase-hh

Moin Moin,

also müsste ich im Prinzip für p  ( bzw. $ [mm] \hat [/mm] p $ ), nur die relative Häufigkeit [mm] \bruch{k}{n} [/mm] = [mm] \frac{416}{450} [/mm] einsetzen?!



[mm] p_{max} [/mm] = p + [mm] 1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{p\cdot{}(1-p)}{n}} [/mm]


[mm] p_{max} [/mm] = [mm] \bruch{416}{450} [/mm] + [mm] 1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{\bruch{416}{450}*(1 -\bruch{416}{450})}{450}} [/mm]

[mm] \approx [/mm] 0,9489


Wahrscheinlich ist mein Denkfehler, dass

p + [mm] 1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{p\cdot{}(1-p)}{n}} [/mm]

ein Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von P 97,5% darstellt.

Dabei wird mit diesem Term nur die maximale Wahrscheinlichkeit p berechnet, die die Obergrenze des 95%-Konfidenzintervalls ist?!


Danke & Gruß aus Bad Oldesloe ^^








Bezug
                        
Bezug
Konfi-I. Reifen Matheabi 2024: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Fr 09.05.2025
Autor: statler

Hi!

> also müsste ich im Prinzip für p  ( bzw. [mm]\hat p[/mm] ), nur
> die relative Häufigkeit [mm]\bruch{k}{n}[/mm] = [mm]\frac{416}{450}[/mm]
> einsetzen?!

Ja, aber man sollte eben penibel sein und in den Formeln zwischen der wahren, aber unbekannten Wahrscheinlichkeit [mm] $\pi$ [/mm] (bei Sachs) und der aus dem Versuch geschätzten Wahrscheinlichkeit [mm] $\hat [/mm] p$ (so bei den Statistikern üblich) unterscheiden.

>  
>
>
> [mm]p_{max}[/mm] = p + [mm]1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{p\cdot{}(1-p)}{n}}[/mm]
>
>
> [mm]p_{max}[/mm] = [mm]\bruch{416}{450}[/mm] +
> [mm]1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{\bruch{416}{450}*(1 -\bruch{416}{450})}{450}}[/mm]
>  
> [mm]\approx[/mm] 0,9489

Da hier mit Hilfe der Normalverteilung approximiert wird, kommt auch noch die Stetigkeitskorrektur ins Spiel:

[mm]p_{max}[/mm] = [mm]\bruch{416 + 0,5}{450}[/mm] +
[mm]1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{\bruch{416}{450}*(1 -\bruch{416}{450})}{450}}[/mm]

>
>
> Wahrscheinlich ist mein Denkfehler, dass
>
> p + [mm]1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{p\cdot{}(1-p)}{n}}[/mm]
>
> ein Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von P 97,5%
> darstellt.
>  
> Dabei wird mit diesem Term nur die maximale
> Wahrscheinlichkeit p berechnet, die die Obergrenze des
> 95%-Konfidenzintervalls ist?!

Das mag sein.

>  

Gruß Dieter

Bezug
                                
Bezug
Konfi-I. Reifen Matheabi 2024: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Mo 12.05.2025
Autor: hase-hh

Moin,


>
> Da hier mit Hilfe der Normalverteilung approximiert wird,
> kommt auch noch die Stetigkeitskorrektur ins Spiel:
>  
> [mm]p_{max}[/mm] = [mm]\bruch{416 + 0,5}{450}[/mm] +
> [mm]1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{\bruch{416}{450}*(1 -\bruch{416}{450})}{450}}[/mm]
>  

Zum einen würde ich das Standard-Intervall bzw. Wald-Intervall


[mm] p_{o} [/mm] = [mm] p_{Dach} [/mm]  + [mm] c*\wurzel{\bruch{ p_{Dach} (1 - p_{Dach} )}{n} } [/mm]

Leider führt hier mehrmaliges  Dollar Schrägstrich-hat p Dollar zu Klammerfehlermeldungen !!


durchgängig mit $ [mm] \hat [/mm] p $  mit Stetigkeitskorrektur verwenden.

[mm] \bruch{416 +0,5}{450} [/mm] + [mm] 1,96\cdot{}\wurzel{\bruch{\bruch{416 +0,5}{450}*(1 -\bruch{416 +0,5}{450})}{450}} [/mm]

Dies führt zu  [mm] p_{o} [/mm] = 0,9498  [ohne Stetigkeitskorrektur  0,9489]


Erst bei Verwendung des Wilson-Intervalls kommt der in der Musterlösung angegebene Wert heraus !!

[mm] p_{o} [/mm] = [mm] \bruch{k +\bruch{c^2}{2}}{n +c^2} +\bruch{c*\wurzel{n}}{n +c^2}*\wurzel{\bruch{k}{n}*(1 - \bruch{k}{n}) +\bruch{c^2}{4n}} [/mm]            


mit k = 416, n = 450, c = 1,96

[mm] p_{o} [/mm] = 0,09454  

mit Stetigkeitskorrektur, also k = 416,5  [mm] p_{o} [/mm] = 0,09464.




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