Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Let n be an odd prositive integer. Show: If there exist relatively prime integers x and y satisfying [mm] x^{2}+2y^{2} [/mm] = n then there is a solution to the equation [mm] u^{2} \equiv [/mm] -2 mod n and the converse holds also if n is squarefree. |
Hallo zusammen
Ich habe hier eine sehr einfache Frage. Es fehlt mir nur der letzte Schliff. Ich schreibe trotzdem schon alles was ich habe, vielleicht habe ich ja Fehler gemacht:
1) [mm] \exist [/mm] x,y coprime [mm] \Rightarrow u^{2} \equiv [/mm] -2 (mod n) has a solution
gcd(x,y) = 1
[mm] x^{2}+2y^{2} [/mm] = n
[mm] \Rightarrow [/mm] gcd(x,n) = 1 [mm] \Rightarrow \exists [/mm] c [mm] \in \IZ: [/mm] cx [mm] \equiv [/mm] 1 (mod n)
[mm] \Rightarrow 2(cy)^{2} [/mm] + 1 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod n)
[mm] \Rightarrow 2(cy)^{2} \equiv [/mm] -1 (mod n)
[mm] \Rightarrow 4(cy)^{2} \equiv [/mm] -2 (mod n)
[mm] \Rightarrow (2cy)^{2} \equiv [/mm] -2 (mod n)
2) [mm] u^{2} \equiv [/mm] -2 (mod n) has a solution for n squarefree [mm] \Rightarrow \exists [/mm] coprime x,y: [mm] x^{2}+2y^{2} [/mm] = n
n squarefree: [mm] \nexists [/mm] p: [mm] p^{2}|n.
[/mm]
[mm] \underline{Lemma:} [/mm] For a n [mm] \in \IZ, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1, there exists integer x and y with 0 < |x| [mm] \le \wurzel{n} [/mm] resp. 0 [mm] \le [/mm] |y| < [mm] \wurzel{n} [/mm] such that ax + y [mm] \equiv [/mm] 0 (mod n)
By that lemma, I have:
[mm] \exists [/mm] x,y: ux + y [mm] \equiv [/mm] 0 (mod n) [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{2} \equiv [/mm] 0 (mod n)
Wenn ich mal soweit bin, kann ich mit der Quadratfreiheit argumentieren um schliesslich zu zeigen, dass [mm] x^{2}+2y^{2} [/mm] = n. Aber dieser Zwischenschritt, wo die 3 Punkte ... sind, fehlt mir.. es ist wahrscheinlich eine ganz einfache Erklärung, wie man das richtig umformt.. doch ich sehe es gerade nicht..
Ich habs mal so versucht, aber ich glaube ich darf einiges nicht ^^:
ux +y [mm] \equiv [/mm] 0 (mod n) [mm] \Rightarrow [/mm] ux [mm] \equiv [/mm] -y (mod n)
[mm] \Rightarrow u^{2}x^{2} \equiv y^{2} [/mm] (mod n)
[mm] \Rightarrow -2x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} \equiv [/mm] 0 (mod n)
[mm] \Rightarrow 2x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \equiv [/mm] 0 (mod n)
Oder stimmen diese Schritte?
Danke!
Grüsse, Amaro
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 07.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Hallo
Da meine Anfrage nicht bearbeitet werden konnte, versuche ich mal etwas konkreter zu fragen.. Ich wäre immernoch an ner Antwort interessiert :) :
Im Folgenden ist n eine ungerade Zahl > 0.
1) Kann ich folgende Umformungen machen?
(Vorausgesetzt: [mm] u^{2} \equiv [/mm] -2 (mod n))
ux +y [mm] \equiv [/mm] 0 (mod n) [mm] \Rightarrow [/mm] ux [mm] \equiv [/mm] -y (mod n)
[mm] \Rightarrow u^{2}x^{2} \equiv y^{2} [/mm] (mod n)
[mm] \Rightarrow -2x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} \equiv [/mm] 0 (mod n)
[mm] \Rightarrow 2x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \equiv [/mm] 0 (mod n)
2) Wenn ich nun (Konvention) schreibe: [mm] x^{2}+2y^{2} \equiv [/mm] 0 (mod n) und zusätzlich folgendes voraussetze:
i) n ist Quadratteilerfrei [mm] (\nexists [/mm] p: [mm] p^{2}|n)
[/mm]
ii) 0 < |x| [mm] \le \wurzel{n} [/mm] & 0 [mm] \le [/mm] |y| < [mm] \wurzel{n} [/mm]
Dann kriege ich ja 0 < [mm] x^{2}+2y^{2} [/mm] < 3n (da [mm] x^{2} \le [/mm] n, [mm] y^{2} [/mm] < n)
Dann muss ja gelten: [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{2} \in [/mm] {n, 2n}
(Wegen dem ersten Teil meiner Frage..)
Ich würde nun gerne ausschliessen, dass es 2n sein kann.. doch egal wie ich es versuche, ich komme nicht auf ein Ergebnis..
Kann mir jemand helfen?
Danke :)
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Fr 09.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
