www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieKongruenz
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Zahlentheorie" - Kongruenz
Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kongruenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Mo 07.05.2012
Autor: teo

Aufgabe
Zeigen Sie: Eine ungerade Primzahl p ist Teiler einer Zahl [mm] n^{2} +1 [/mm] mit [mm] n \in \IN [/mm] genau dann, wenn p [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4)gilt.

Hallo,

hab schon ewig rumprobiert und kriegs net hin. Ein kleiner Tipp wäre toll!

Vielen Dank

teo

        
Bezug
Kongruenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:06 Mo 07.05.2012
Autor: wieschoo

Falls [mm] $p\in\mathbb{P}$ [/mm] ungerade ist gibt es nur zwei Möglichkeiten:

Fall 1: [mm] $p\equiv 1\mod [/mm] 4$ (<- wir wären fertig)
Fall 2: [mm] $p\equiv 3\mod [/mm] 4$

Annahme: [mm] $p\equiv 3\mod [/mm] 4$
Aus [mm] $n^2\equiv [/mm] -1 [mm] \mod [/mm] p$ folgt [mm] $n^4\equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] p$
Laut Annahme ist $p=4k+3$ für ein k

Konstruiere nun ein Widerspruch zum kleinen Satz von Fermat [mm] $n^{p-1}\equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] p$.

Bezug
                
Bezug
Kongruenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:26 Di 08.05.2012
Autor: felixf

Moin!

> Es ist ja zu zeigen [mm]n^2\equiv -1 \mod p\gdw p\equiv 1\mod 4[/mm].

Die Aussage ist so falsch: es gibt unendlich viele Primzahlen $p$ mit $p [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{4}$, [/mm] jedoch nur endlich viele Primteiler von [mm] $n^2 [/mm] + 1$.

Ich glaube, hier soll nur [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] gezeigt werden, also: jeder ungerade Primteiler von [mm] $n^2 [/mm] + 1$ ist kongruent zu 1 modulo 4.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Kongruenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 Di 08.05.2012
Autor: wieschoo

Da habe ich mich böse vertan. Ich hatte die ganze Zeit die Aussage

"Eine Primzahl [mm]p[/mm] kann genau dann als Summe 2er Quadrate geschrieben
werden, falls [mm]p=2[/mm] oder [mm]p \equiv 1 \pmod 4[/mm] gilt. "

Sorry. Habs korrigiert.

Bezug
                        
Bezug
Kongruenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:14 Di 08.05.2012
Autor: teo

ah! entschuldigung hab die antwort von felix nicht richtig gelesen bzw. nicht sofort kapiert... alles klar! vielen dank!
grüße

Bezug
                
Bezug
Kongruenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Di 08.05.2012
Autor: teo

Hallo,
danke für die Antwort!

> Falls [mm]p\in\mathbb{P}[/mm] ungerade ist gibt es nur zwei
> Möglichkeiten:
>  
> Fall 1: [mm]p\equiv 1\mod 4[/mm] (<- wir wären fertig)
>  Fall 2: [mm]p\equiv 3\mod 4[/mm]
>  
> Annahme: [mm]p\equiv 3\mod 4[/mm]
>  Aus [mm]n^2\equiv -1 \mod p[/mm] folgt
> [mm]n^4\equiv 1 \mod p[/mm]
>  Laut Annahme ist [mm]p=4k+3[/mm] für ein k
>  
> Konstruiere nun ein Widerspruch zum kleinen Satz von Fermat
> [mm]n^{p-1}\equiv 1 \mod p[/mm].

Also wenn [mm]n^{4} \equiv 1 \mod p[/mm] ist, dann folgt aus dem Satz von Fermat, das p = 5 ist. Dies ist aber ein Widerspruch zu [mm]p = 4k + 3[/mm] für ein [mm]k \in \IZ[/mm]. Da kein solches k existiert, sodass [mm]5 = 4k + 3[/mm] gilt.

Reicht das schon als Beweis aus? Was ist mit der Gegenrichtung, die müsste man bei der Aufgabenstellung doch eigentlich schon auch machen.

Vielen Dank!

Grüße


Bezug
                        
Bezug
Kongruenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Di 08.05.2012
Autor: wieschoo


> Hallo,
> danke für die Antwort!
>  
> > Falls [mm]p\in\mathbb{P}[/mm] ungerade ist gibt es nur zwei
> > Möglichkeiten:
>  >  
> > Fall 1: [mm]p\equiv 1\mod 4[/mm] (<- wir wären fertig)
>  >  Fall 2: [mm]p\equiv 3\mod 4[/mm]
>  >  
> > Annahme: [mm]p\equiv 3\mod 4[/mm]
>  >  Aus [mm]n^2\equiv -1 \mod p[/mm]
> folgt
> > [mm]n^4\equiv 1 \mod p[/mm]
>  >  Laut Annahme ist [mm]p=4k+3[/mm] für ein
> k
>  >  
> > Konstruiere nun ein Widerspruch zum kleinen Satz von Fermat
> > [mm]n^{p-1}\equiv 1 \mod p[/mm].
>
> Also wenn [mm]n^{4} \equiv 1 \mod p[/mm] ist, dann folgt aus dem
> Satz von Fermat, das p = 5 ist. Dies ist aber ein

Dann solltest du noch einmal nachschauen, was der Satz von Fermat wirklich sagt.

Zum Beispiel ist [mm]1^4\equiv 1 \mod r[/mm] für alle r!

> Widerspruch zu [mm]p = 4k + 3[/mm] für ein [mm]k \in \IZ[/mm]. Da kein
> solches k existiert, sodass [mm]5 = 4k + 3[/mm] gilt.

Du weißt doch [mm]n^4\equiv 1\mod p[/mm]. Laut Annahme [mm] ($p\equiv 3\mod [/mm] 4$) ist [mm]p=4k+3\;[/mm]
[mm]n^{p-1}=n^{4k+3-1}=n^{4k+2}=\ldots=-1[/mm]

Aber nach Fermat muss [mm]n^{p-1}\equiv 1\mod p[/mm] sein.


>  
> Reicht das schon als Beweis aus? Was ist mit der
> Gegenrichtung, die müsste man bei der Aufgabenstellung
> doch eigentlich schon auch machen.

Da hat mich Felix überzeugt:
https://matheraum.de/read?i=886855

>  
> Vielen Dank!
>  
> Grüße
>  


Bezug
                                
Bezug
Kongruenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Mi 09.05.2012
Autor: teo

Hallo,

habe zu [mm] "\Leftarrow" [/mm] trotzdem noch eine Frage. Das ist doch trotzdem möglich. Diese Richtung ist doch nur ein Existenzbeweis für n. Also für alle ungeraden Primzahlen mit [mm]p \equiv 1\mod p [/mm] existiert ein n [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] n^{2} \equiv -1 \mod p[/mm].
Die Aussage stimmt doch so, also müsste die doch auch zu beweisen sein.

Vielen Dank!

Grüße


Bezug
                                        
Bezug
Kongruenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Mi 09.05.2012
Autor: felixf

Moin,

> habe zu [mm]"\Leftarrow"[/mm] trotzdem noch eine Frage. Das ist doch
> trotzdem möglich. Diese Richtung ist doch nur ein
> Existenzbeweis für n. Also für alle ungeraden Primzahlen
> mit [mm]p \equiv 1\mod p[/mm] existiert ein n [mm]\in \IN,[/mm] sodass [mm]n^{2} \equiv -1 \mod p[/mm].
> Die Aussage stimmt doch so, also müsste die doch auch zu
> beweisen sein.

stimmt, da hast du Recht. Diese Richtung kann man auch beweisen. Das Problem ist halt die Klammerung ;-) Also wo man das $n$ hinpackt und wo nicht bei der Aussage.

LG Felix


Bezug
                                                
Bezug
Kongruenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Mi 09.05.2012
Autor: teo

Hallo

> Moin,
>  
> > habe zu [mm]"\Leftarrow"[/mm] trotzdem noch eine Frage. Das ist doch
> > trotzdem möglich. Diese Richtung ist doch nur ein
> > Existenzbeweis für n. Also für alle ungeraden Primzahlen
> > mit [mm]p \equiv 1\mod p[/mm] existiert ein n [mm]\in \IN,[/mm] sodass [mm]n^{2} \equiv -1 \mod p[/mm].
> > Die Aussage stimmt doch so, also müsste die doch auch zu
> > beweisen sein.
>  
> stimmt, da hast du Recht. Diese Richtung kann man auch
> beweisen. Das Problem ist halt die Klammerung ;-) Also wo
> man das [mm]n[/mm] hinpackt und wo nicht bei der Aussage.
>  
> LG Felix
>  

Und wie könnts gehen?

Danke

Bezug
                                                        
Bezug
Kongruenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Mi 09.05.2012
Autor: felixf

Moin!

> > > habe zu [mm]"\Leftarrow"[/mm] trotzdem noch eine Frage. Das ist doch
> > > trotzdem möglich. Diese Richtung ist doch nur ein
> > > Existenzbeweis für n. Also für alle ungeraden Primzahlen
> > > mit [mm]p \equiv 1\mod p[/mm] existiert ein n [mm]\in \IN,[/mm] sodass [mm]n^{2} \equiv -1 \mod p[/mm].
> > > Die Aussage stimmt doch so, also müsste die doch auch zu
> > > beweisen sein.
>  >  
> > stimmt, da hast du Recht. Diese Richtung kann man auch
> > beweisen. Das Problem ist halt die Klammerung ;-) Also wo
> > man das [mm]n[/mm] hinpackt und wo nicht bei der Aussage.
>  >  
> > LG Felix
>  >  
> Und wie könnts gehen?

Die Einheitengruppe [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast$ [/mm] ist zyklisch. Welche Ordnung hat sie? Gibt es ein Element der Ordnung 4?

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
Kongruenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:24 Do 10.05.2012
Autor: teo


> Moin!
>  
> > > > habe zu [mm]"\Leftarrow"[/mm] trotzdem noch eine Frage. Das ist doch
> > > > trotzdem möglich. Diese Richtung ist doch nur ein
> > > > Existenzbeweis für n. Also für alle ungeraden Primzahlen
> > > > mit [mm]p \equiv 1\mod 4[/mm] existiert ein n [mm]\in \IN,[/mm] sodass [mm]n^{2} \equiv -1 \mod p[/mm].
> > > > Die Aussage stimmt doch so, also müsste die doch auch zu
> > > > beweisen sein.
>  >  >  
> > > stimmt, da hast du Recht. Diese Richtung kann man auch
> > > beweisen. Das Problem ist halt die Klammerung ;-) Also wo
> > > man das [mm]n[/mm] hinpackt und wo nicht bei der Aussage.
>  >  >  
> > > LG Felix
>  >  >  
> > Und wie könnts gehen?
>  
> Die Einheitengruppe [mm](\IZ/p\IZ)^\ast[/mm] ist zyklisch. Welche
> Ordnung hat sie? Gibt es ein Element der Ordnung 4?
>  
> LG Felix
>  

Hallo,
für die Einheitengruppe gilt #[mm](\IZ/p\IZ)^\ast[/mm] = p-1. Da nach Voraussetzung [mm]p\equiv 1 \mod 4 \gdw p-1 \equiv 0\mod 4[/mm] ist p-1 durch 4 teilbar. Also ex., da [mm](\IZ/p\IZ)^\ast[/mm] zyklisch ist für jeden Teiler der Gruppenordnung ein Element dieser Ordnung. Also gibt es ein Element der Ordnung 4 in [mm](\IZ/p\IZ)^\ast[/mm].

Ok aber wie komm ich jetzt dahin, dass ein [mm]n \in \IN[/mm] existiert mit [mm] n^{2}\equiv -1 \mod p[/mm]? Ich sehs leider nicht.

Vielen Dank!

Grüße

Bezug
                                                                        
Bezug
Kongruenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Do 10.05.2012
Autor: wieschoo

Und ein Element der Ordnung 4 erfüllt [mm] $x^2+1=0$ [/mm] in [mm] $\IF_p$.[/mm]
Bezug
                                                                                
Bezug
Kongruenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Do 10.05.2012
Autor: teo


> in [mm]\IF_p[/mm] gilt
>  
> [mm]x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)[/mm]
>  
>

Für ein Element a mit Ordnung vier gilt [mm] a^{4}=1, [/mm] also gilt [mm]a^{4}-1=(a^{2}-1)(a^{2}+1)=0 \Rightarrow (a^{2}-1)(a^{2}+1) = 1.[/mm]
Hm.. das bringt mich jetzt aber auch net weiter.. Ich brauch doch [mm]n^{2} \equiv -1 \mod p[/mm]
Seht ihr die Lösung schon? Ich würds wirklich auch gern kapieren!

Vielen Dank!

Bezug
                                                                                        
Bezug
Kongruenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Do 10.05.2012
Autor: wieschoo

Letzlich musst du nur zeigen, dass die Quadradtwurzel von [mm]-1[/mm] in [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] vorhanden ist.

Es ist doch
[mm]n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)[/mm]

Die Lösungen von [mm]n^2-1[/mm] sind [mm]\pm 1[/mm]. Eine Lösung von [mm]n^2+1[/mm] ist [mm]k[/mm] mit [mm]k^2=-1[/mm]. Und dieses k hat nun  dann die Ordnung vier.

Allgemeiner gilt:
Es gibt ein Element [mm] $a\in\IF_{p^r}$ [/mm] mit ord(a)=k <=> [mm] $k\mid p^{r}-1$ [/mm]

Bezug
                                                                                                
Bezug
Kongruenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:13 Do 10.05.2012
Autor: teo

Danke! Jetzt hab ichs kapiert!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]