Kongruenz Äquivalenzralation < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und sei [mm] T_{+}=\{A \in M_{n}(\IR)| A ist Diagonalmatrix, \forall i \in \{1,...,n\}:a{ii}>0\}.
[/mm]
a) Man beweise, dass Kongruenz eine Äquivalenzrelation auf [mm] M_{n}(\IR) [/mm] ist.
b) Man beweise, dass je zwei Matrizen in [mm] T_{+} [/mm] kongruent sind. |
Guten Abend,
ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe,komme aber nicht mehr weiter.
a) Die Kongruenz haben wir so definiert:
G,G' [mm] \in M_{n}(K) [/mm] heißen kongruent, wenn es ein Q [mm] \in Gl_{n}(K) [/mm] (invertierbare Matrizen) gibt mit [mm] G=Q^{T}*G'*Q
[/mm]
Und für eine Äquivalenzrelation muss Symmetrie,Reflexivität und Trensitivität vorhanden sein.
1.Reflexiv: Sei G,G' [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] und es gilt [mm] G=Q^{T}*G'*Q.
[/mm]
Jetzt muss ich zeigen,dass auch [mm] G=Q^{T}*G*Q [/mm] gilt.
Dazu hab ich mir gedacht ganz allgemein die Matrix [mm] G=\pmat{ a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}} [/mm] zu nehmen und das damit nachzuweisen.Nur brauche ich noch ein Q das invertierbar ist und eine Matrix Q ist invertierbar, wenn sie ein Links und ein Rechtsinverses hat oder wenn das LGS Q*x=O nur die triviale Lösung x=0 hat.
Dann hab ich mir gedacht einfach zu sagen,dass G das Inverse zu Q ist,aber das bringt mich nicht weiter.Ich komme hier nicht mehr weiter.
Hat jemand einen Tipp für mich,wie ich weitermachen kann?
Vielen Dank
lg
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> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und sei [mm]T_{+}=\{A \in M_{n}(\IR)| A ist Diagonalmatrix, \forall i \in \{1,...,n\}:a{ii}>0\}.[/mm]
>
> a) Man beweise, dass Kongruenz eine Äquivalenzrelation auf
> [mm]M_{n}(\IR)[/mm] ist.
> b) Man beweise, dass je zwei Matrizen in [mm]T_{+}[/mm] kongruent
> sind.
> Guten Abend,
>
> ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe,komme aber
> nicht mehr weiter.
>
> a) Die Kongruenz haben wir so definiert:
> G,G' [mm]\in M_{n}(K)[/mm] heißen kongruent, wenn es ein Q [mm]\in Gl_{n}(K)[/mm]
> (invertierbare Matrizen) gibt mit [mm]G=Q^{T}*G'*Q[/mm]
>
> Und für eine Äquivalenzrelation muss
> Symmetrie,Reflexivität und Trensitivität vorhanden sein.
>
> 1.Reflexiv: Sei G,G' [mm]\in M_{n}(\IR)[/mm] und es gilt
> [mm]G=Q^{T}*G'*Q.[/mm]
> Jetzt muss ich zeigen,dass auch [mm]G=Q^{T}*G*Q[/mm] gilt.
> Dazu hab ich mir gedacht ganz allgemein die Matrix
> [mm]G=\pmat{ a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}}[/mm]
Machs nicht so kompliziert. Gib doch eine ganz einfache Matrix Q an, sodass $G=Q^TGQ$ ist! Für welche Matrix gilt das? Fertig
Für Symmetrie nutzt du die Invertierbarkeit von Q aus.
Für Transitivität kann man [mm] $A^TB^T=(BA)^T$ [/mm] verwenden.
> zu nehmen und das damit nachzuweisen.Nur brauche ich noch
> ein Q das invertierbar ist und eine Matrix Q ist
> invertierbar, wenn sie ein Links und ein Rechtsinverses hat
> oder wenn das LGS Q*x=O nur die triviale Lösung x=0 hat.
> Dann hab ich mir gedacht einfach zu sagen,dass G das
> Inverse zu Q ist,aber das bringt mich nicht weiter.Ich
> komme hier nicht mehr weiter.
> Hat jemand einen Tipp für mich,wie ich weitermachen
> kann?
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Do 30.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Machs nicht so kompliziert. Gib doch eine ganz einfache
> Matrix Q an, sodass [mm]G=Q^TGQ[/mm] ist! Für welche Matrix gilt
> das? Fertig
Das gilt für die Einheitsmatrix,aber damit ist doch nicht gezeigt,dass das für jede quadratische Matrix gilt.Wieso ist man dann hier schon fertig?
Verstehe ich die Aufgabe richtig, dass die Kongruenz auf [mm] M_{n}(\IR) [/mm] gezeigt werden soll und dass das nicht bedeutet,dass ein Element aus [mm] M_{n}(\IR) [/mm] unbedingt Diagonalmatrix ist?
> Für Symmetrie nutzt du die Invertierbarkeit von Q aus.
Für die Symmetrie muss ich zeigen: [mm] A=Q^{T}*B*Q \to B=Q^{T}*A*Q.
[/mm]
Da Q invertierbar ist, ist auch [mm] Q^{T} [/mm] invertierbar.Jetzt könnte ich sagen,dass B das Linksinverse zu Q ist,obwohl...das bringt mir nichts.
Kann man für die Symmetrie nicht einfach A=B setzen,denn dann gilt die Symmetrie?
> Für Transitivität kann man [mm]A^TB^T=(BA)^T[/mm] verwenden.
Für Transitivität muss gelten: [mm] A=Q^{T}*B*Q, B=Q^{T}*C*Q \to A=Q^{T}*C*Q.
[/mm]
Da kann ich in der ersten Gleichung das B ersetzen und habe:
[mm] A=(Q*Q)^{T}*C*(Q*Q)=(Q^{2})^{T}*C*(Q^{2}).
[/mm]
Jetzt hab ich aber die Quadrate in den Q stehen,die ich eigentlich nicht wollte. Das bedeutet ja dass [mm] Q=Q^{2} [/mm] ist.Irgendwas stimmt da nicht.
lg
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Du hast die Definition von Kongruenz meiner Meinung nach nicht verstanden:
A heißt kongruent zu B [mm]:\gdw\;\exists S\in GL(n,\IR):A=S^TBS[/mm].
Reflexivität:
zu zeigen: A ist kongruent zu A, d.h. [mm] $\exists S\in GL(n\IR):A=S^TAS$
[/mm]
Sei [mm]A \in \IR^{n\times n}[/mm] beliebig. Setze S=E Einheitsmatrix, dann [mm]A=E^TAE[/mm] also reflexiv.
Symmetrie:
Sei [mm] $A,B\in \IR^{n\times n}$ [/mm] und [mm] $S\in GL(n,\IR)$ [/mm] mit $A=S^TBS$. Zu zeigen ist: [mm] $\exists R\in GL(n,\IR)$ [/mm] mit $B=R^TAR$. Wie muss R aussehen?
...
[mm] $GL(n,\IR)$ [/mm] sind bei mir die invertierbare Matrizen vom Format nxn.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 02.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du hast die Definition von Kongruenz meiner Meinung nach
> nicht verstanden:
>
> A heißt kongruent zu B [mm]:\gdw\;\exists S\in GL(n,\IR):A=S^TBS[/mm].
>
> Reflexivität:
> zu zeigen: A ist kongruent zu A, d.h. [mm]\exists S\in GL(n\IR):A=S^TAS[/mm]
>
> Sei [mm]A \in \IR^{n\times n}[/mm] beliebig. Setze S=E
> Einheitsmatrix, dann [mm]A=E^TAE[/mm] also reflexiv.
>
> Symmetrie:
> Sei [mm]A,B\in \IR^{n\times n}[/mm] und [mm]S\in GL(n,\IR)[/mm] mit [mm]A=S^TBS[/mm].
> Zu zeigen ist: [mm]\exists R\in GL(n,\IR)[/mm] mit [mm]B=R^TAR[/mm]. Wie muss
> R aussehen?
Ist [mm] R=S^{T}?
[/mm]
Wir hatten uns nämlich mal aufgeschrieben,dass wenn [mm] A=Q*B*Q^{-1} [/mm] ist, dann gilt [mm] B=Q^{-1}*A*Q [/mm] (A,B quadratische,invertierbare Matrizen, Q [mm] \in Gln(\IR)), [/mm] wobei ich nicht nachvollziehen kann, wieso das daraus folgt.
lg
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> > Du hast die Definition von Kongruenz meiner Meinung nach
> > nicht verstanden:
> >
> > A heißt kongruent zu B [mm]:\gdw\;\exists S\in GL(n,\IR):A=S^TBS[/mm].
>
> >
> > Reflexivität:
> > zu zeigen: A ist kongruent zu A, d.h. [mm]\exists S\in GL(n\IR):A=S^TAS[/mm]
>
> >
> > Sei [mm]A \in \IR^{n\times n}[/mm] beliebig. Setze S=E
> > Einheitsmatrix, dann [mm]A=E^TAE[/mm] also reflexiv.
> >
> > Symmetrie:
> > Sei [mm]A,B\in \IR^{n\times n}[/mm] und [mm]S\in GL(n,\IR)[/mm] mit
> [mm]A=S^TBS[/mm].
> > Zu zeigen ist: [mm]\exists R\in GL(n,\IR)[/mm] mit [mm]B=R^TAR[/mm]. Wie muss
> > R aussehen?
>
> Ist [mm]R=S^{T}?[/mm]
Nein. Setz doch mal ein:
[mm]A=S^TBS[/mm] und [mm]B=SAS^T[/mm], dann ist [mm]A=S^TSAS^TS=(S^TS)^TAS^TS[/mm] und das gilt i.A. nicht.
> Wir hatten uns nämlich mal aufgeschrieben,dass wenn
> Wenn A und B ähnlich sind, dann gilt:[mm]A=Q*B*Q^{-1}[/mm] ,genau dann wenn gilt [mm]B=Q^{-1}*A*Q[/mm] (A,B
So kann man den Satz vielleicht noch retten.
> quadratische,invertierbare Matrizen, Q [mm]\in Gln(\IR)),[/mm] wobei
> ich nicht nachvollziehen kann, wieso das daraus folgt.
>
> lg
Das sind zwei Sachen:
Ähnlichkeitsrelation
[mm]B=Q^{-1}AQ\Rightarrow QBQ^{-1}=QQ^{-1}AQQ^{-1}=A[/mm]
Kongruenzrelation
Sei [mm]A=S^TBS[/mm] z.z. [mm]\exists R\in \operatorname{GL}(n,K)\;:\;B=R^TAR[/mm]. Also [mm]A=S^TBS=S^TR^TARS=(RS)^TA(RS)[/mm]. Da [mm]S,R\in GL(n,K)[/mm] muss [mm] $RS=E\,$ [/mm] gelten, also [mm]S=R^{-1} \Rightarrow R=S^{-1}[/mm] Da S invertierbar nach Voraussetzung ist, existiert auch ein solches R.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 So 02.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | b) Man beweise, dass je zwei Matrizen in [mm] T_{+} [/mm] kongruent sind, [mm] T_{+}=\{A \in M_{n}(\IR)| A ist Diagonalmatrix, \forall i \in \{1,...,n\}:a{ii}>0\}. [/mm] |
Hallo,
ich habe das bewiesen und wüsste gern ob das richtig ist.
Seien A,B [mm] \in T_{+}. [/mm] Zu Zeigen: [mm] \exists [/mm] S [mm] \in Gln(\IR): A=S^{T}*B*S.
[/mm]
Seien [mm] A=\pmat{ a_{1} & 0 \\ 0 & a_{n} }, B=\pmat{ b_{1} & 0 \\ 0 & b_{n} }
[/mm]
Dann würde ich einfach [mm] S=\pmat{ \bruch{a_{1}}{b_{1}} & 0 \\ 0 & \bruch{a_{n}}{b_{n}} } [/mm] wählen und da S invertierbar ist, ist die Kongruenz gezeigt.
Ist das richtig so?
Vielen Daank
lg
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> b) Man beweise, dass je zwei Matrizen in [mm]T_{+}[/mm] kongruent
> sind, [mm]T_{+}=\{A \in M_{n}(\IR)| A ist Diagonalmatrix, \forall i \in \{1,...,n\}:a{ii}>0\}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe das bewiesen und wüsste gern ob das richtig ist.
>
> Seien A,B [mm]\in T_{+}.[/mm] Zu Zeigen: [mm]\exists[/mm] S [mm]\in Gln(\IR): A=S^{T}*B*S.[/mm]
>
> Seien [mm]A=\pmat{ a_{1} & 0 \\
0 & a_{n} }, B=\pmat{ b_{1} & 0 \\
0 & b_{n} }[/mm]
Das ist ein Spezialfall für n=2. Beim zweiten Mal hinschauen doch nicht. Trotzdem kannst du erst einmal den Spezialfall n=2 betrachten
>
> Dann würde ich einfach [mm]S=\pmat{ \bruch{a_{1}}{b_{1}} & 0 \\
0 & \bruch{a_{n}}{b_{n}} }[/mm]
Probe: [mm]\pmat{ \bruch{a_{11}}{b_{11}} & 0 \\
0 & \bruch{a_{22}}{b_{22}} }^T\pmat{ b_{11} & 0 \\
0 & b_{22} } \pmat{ \bruch{a_{11}}{b_{11}} & 0 \\
0 & \bruch{a_{22}}{b_{22}} }=\pmat{ \bruch{a_{11}}{b_{11}} & 0 \\
0 & \bruch{a_{22}}{b_{22}} }\pmat{ b_{11} & 0 \\
0 & b_{22} } \pmat{ \bruch{a_{11}}{b_{11}} & 0 \\
0 & \bruch{a_{22}}{b_{22}} }=\pmat{ a_{11} & 0 \\
0 & a_{22} } \pmat{ \bruch{a_{11}}{b_{11}} & 0 \\
0 & \bruch{a_{22}}{b_{22}} }\neq \pmat{ a_{11} & 0 \\
0 & a_{22} }[/mm]> wählen und da S invertierbar ist, ist die Kongruenz
> gezeigt.
Die Idee ist ähnlich zu Ähnlichkeit. Du versuchst A und B auf die Einheitsmatrix durch Multiplikation von Matrizen von links und rechts zu bringen.
Die Idee erhälst du, wenn du versuchst folgende Umformung durchführst[mm]\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } \rightsquigarrow\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 } [/mm]Dabei multiplizierst du von links eine Matrix [mm] H^T [/mm] (Zeilenoperation) an [mm]\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } [/mm]. Gleichzeitig musst du aber auch [mm]H[/mm] von rechts dran multiplizieren. Also soetwas:
[mm]\underbrace{H_k^T\cdots H_2^T\cdot H_1^T}_{R^T}\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 }\underbrace{H_1\cdot H_2\cdots H_n}_{R}=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 } [/mm]Vielleicht bekommst du es auch gleich mit einer Matrix hin. Dann kannst du es allgemein machen.( [mm]\sqrt{a}\sqrt{a}=a[/mm])
>
> Ist das richtig so?
>
> Vielen Daank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Die Idee ist ähnlich zu Ähnlichkeit. Du versuchst A und B
> auf die Einheitsmatrix durch Multiplikation von Matrizen
> von links und rechts zu bringen.
> Die Idee erhälst du, wenn du versuchst folgende Umformung
> durchführst[mm]\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } \rightsquigarrow\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 } [/mm]Dabei
> multiplizierst du von links eine Matrix [mm]H^T[/mm]
> (Zeilenoperation) an [mm]\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } [/mm].
> Gleichzeitig musst du aber auch [mm]H[/mm] von rechts dran
> multiplizieren. Also soetwas:
> [mm]\underbrace{H_k^T\cdots H_2^T\cdot H_1^T}_{R^T}\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 }\underbrace{H_1\cdot H_2\cdots H_n}_{R}=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 } [/mm]Vielleicht
> bekommst du es auch gleich mit einer Matrix hin. Dann
> kannst du es allgemein machen.( [mm]\sqrt{a}\sqrt{a}=a[/mm])
Ich hab versucht es gleich mit einer Matrix hinzukriegen.Also sei [mm] R=\pmat{ a & b \\ c & d }, [/mm] dann ist [mm] R^{T}=\pmat{ a & c \\ b & d } [/mm] und es muss gelten:
[mm] \pmat{ a & c \\ b & d }*\pmat{ 5 & 0 \\ 0 & 4 }*\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Wenn ich das ausmultipliziere,dann habe ich folgendes GS:
[mm] 5a^{2}+4c^{2}=1
[/mm]
5ab+4cd=0
5ab+4dc=0
[mm] 5b^{2}+4d^{2}=1.
[/mm]
Das Problem ist,dass ich nur 3 Gleichungen,aber 4 Variablen habe,also kann ich das GS gar nicht eindeutig lösen.
Ich hab nicht genau verstanden,was du mit den Matrizen [mm] H_{1},...H_{k} [/mm] meinst, sollen das auch 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrizen sein?
lg
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Hi,
die Idee ist folgende:
Wir bleiben beim Beispiel[mm]\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } [/mm]
Um auf die Einheitsmatrix zu kommen, multipliziert man[mm]E=\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } *\pmat{ \frac{1}{5} & 0 \\
0 & \frac{1}{4} } =\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } *\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} } *\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} } =\underbrace{\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} }}_{R^T} *\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } *\underbrace{\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} } }_{R}[/mm]Wenn du das hast, dann kommst du von jeder Matrix aus [mm]T_+[/mm] (beachte Einträge sind größer 0) auf die Einheitsmatrix
[mm]E=\pmat{ \frac{1}{\sqrt{a_{11}}} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{ a_{nn}}}}*\pmat{ a_{11} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & a_{nn}}*\pmat{ \frac{1}{\sqrt{a_{11}}} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{ a_{nn}}}}[/mm]
Jetzt sollen allen Matrizen in [mm]T_+[/mm] kongruent sein. Also wir wissen
[mm]A,B\in T_+[/mm] und [mm]S,R\in Gl(n,K)[/mm] mit [mm]S^TAS=E=R^TBR[/mm]
z.z. [mm] $\exists H\in GL(n,\IR)\;:\; [/mm] A=H^TBH$
Das ist jetzt ein bisschen invertieren...
Wenn du gezeigt, hast H existiert, dann kannst du es auch angeben:
[mm] $A,B\in [/mm] T_+$
[mm]A=\pmat{ a_{11} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & a_{nn}}\qquad , \qquad B=\pmat{ b_{11} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & b_{nn}}[/mm]und $A=H^TBH$ mit [mm]H=\pmat{ \frac{\sqrt{a_{11}}}{\sqrt{b_{11}}} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \frac{\sqrt{a_{nn}}}{\sqrt{b_{nn}}}}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 04.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi,
>
> die Idee ist folgende:
> Wir bleiben beim Beispiel[mm]\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 }[/mm]
> Um auf
> die Einheitsmatrix zu kommen, multipliziert man[mm]E=\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } *\pmat{ \frac{1}{5} & 0 \\
0 & \frac{1}{4} } =\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } *\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} } *\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} } =\underbrace{\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} }}_{R^T} *\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } *\underbrace{\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} } }_{R}[/mm]Wenn
> du das hast, dann kommst du von jeder Matrix aus [mm]T_+[/mm]
> (beachte Einträge sind größer 0) auf die Einheitsmatrix
Das heißt jede Matrix aus [mm] A_{+} [/mm] ist kongruent zur Einheitsmatrix.
>
>
> [mm]E=\pmat{ \frac{1}{\sqrt{a_{11}}} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{ a_{nn}}}}*\pmat{ a_{11} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & a_{nn}}*\pmat{ \frac{1}{\sqrt{a_{11}}} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{ a_{nn}}}}[/mm]
>
> Jetzt sollen allen Matrizen in [mm]T_+[/mm] kongruent sein. Also wir
> wissen
> [mm]A,B\in T_+[/mm] und [mm]S,R\in Gl(n,K)[/mm] mit [mm]S^TAS=E=R^TBR[/mm]
> z.z. [mm]\exists H\in GL(n,\IR)\;:\; A=H^TBH[/mm]
Also ich weiß,dass [mm] E=R^{T}*B*R [/mm] und es wäre schön,wenn ich auf der linken Seite ein A stehen hätte.Wenn ich A mit der Inversen zu A multipliziere,dann komme ich auf die Einheitsmatrix, die Inverse zu A ist [mm] A^{-1}=\pmat{ \bruch{1}{a_{11}} & 0 \\ 0 & \bruch{1}{a_{nn}} }.
[/mm]
Da R und S invertierbar sind, muss R*S=E gelten, das heißt [mm] s=R^{-1} [/mm] und somit [mm] (R^{-1})^{T}*A*R^{-1}=R^{T}*B*R=E.
[/mm]
Aber irgendwie versteh ich noch nicht, wieso ein solches H existiert ?
>
> Das ist jetzt ein bisschen invertieren...
> Wenn du gezeigt, hast H existiert, dann kannst du es auch
> angeben
> [mm]A,B\in T_+[/mm]
> [mm]A=\pmat{ a_{11} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & a_{nn}}\qquad , \qquad B=\pmat{ b_{11} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & b_{nn}}[/mm]und
> [mm]A=H^TBH[/mm] mit [mm]H=\pmat{ \frac{\sqrt{a_{11}}}{\sqrt{b_{11}}} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \frac{\sqrt{a_{nn}}}{\sqrt{b_{nn}}}}[/mm]
>
>
>
lg
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> > Hi,
> >
> > die Idee ist folgende:
> > Wir bleiben beim Beispiel[mm]\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 }[/mm]
> >
> Um auf
> > die Einheitsmatrix zu kommen, multipliziert man[mm]E=\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } *\pmat{ \frac{1}{5} & 0 \\
0 & \frac{1}{4} } =\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } *\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} } *\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} } =\underbrace{\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} }}_{R^T} *\pmat{ 5 & 0 \\
0 & 4 } *\underbrace{\pmat{ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{4}} } }_{R}[/mm]Wenn
> > du das hast, dann kommst du von jeder Matrix aus [mm]T_+[/mm]
> > (beachte Einträge sind größer 0) auf die Einheitsmatrix
>
> Das heißt jede Matrix aus [mm]A_{+}[/mm] ist kongruent zur
> Einheitsmatrix.#
Genau!
> >
> >
> > [mm]E=\pmat{ \frac{1}{\sqrt{a_{11}}} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{ a_{nn}}}}*\pmat{ a_{11} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & a_{nn}}*\pmat{ \frac{1}{\sqrt{a_{11}}} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{ a_{nn}}}}[/mm]
>
> >
> > Jetzt sollen allen Matrizen in [mm]T_+[/mm] kongruent sein. Also wir
> > wissen
> > [mm]A,B\in T_+[/mm] und [mm]S,R\in Gl(n,K)[/mm] mit [mm]S^TAS=E=R^TBR[/mm]
> > z.z. [mm]\exists H\in GL(n,\IR)\;:\; A=H^TBH[/mm]
>
> Also ich weiß,dass [mm]E=R^{T}*B*R[/mm] und es wäre schön,wenn
> ich auf der linken Seite ein A stehen hätte.Wenn ich A mit
> der Inversen zu A multipliziere,dann komme ich auf die
> Einheitsmatrix, die Inverse zu A ist [mm]A^{-1}=\pmat{ \bruch{1}{a_{11}} & 0 \\
0 & \bruch{1}{a_{nn}} }.[/mm]
>
> Da R und S invertierbar sind, muss R*S=E gelten, das heißt
> [mm]s=R^{-1}[/mm] und somit [mm](R^{-1})^{T}*A*R^{-1}=R^{T}*B*R=E.[/mm]
> Aber irgendwie versteh ich noch nicht, wieso ein solches H
> existiert ?
Mach es nicht wieder so kompliziert:
[mm]S^TAS=R^TBR\Rightarrow A=(S^T)^{-1}R^TBRS^{-1}=(S^{-1})^TR^TBRS^{-1}=(RS^{-1})^TB(RS^{-1})[/mm]
Das H existiert, da R,S invertierbar sind.
EDIT: Man kann es auch aus der Transitivität der Kongruenzrelation ~ folgern:
A~E,E~B=>A~B
>
> >
> > Das ist jetzt ein bisschen invertieren...
> > Wenn du gezeigt, hast H existiert, dann kannst du es
> auch
> > angeben
>
> > [mm]A,B\in T_+[/mm]
> > [mm]A=\pmat{ a_{11} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & a_{nn}}\qquad , \qquad B=\pmat{ b_{11} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & b_{nn}}[/mm]und
> > [mm]A=H^TBH[/mm] mit [mm]H=\pmat{ \frac{\sqrt{a_{11}}}{\sqrt{b_{11}}} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & \frac{\sqrt{a_{nn}}}{\sqrt{b_{nn}}}}[/mm]
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> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man beweise, dass die Diagonalmatrix D [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] mit [mm] d_{i}=\begin{cases} -1, & \mbox{für } i=1 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } i \in \{2,...,n\} \mbox{ } \end{cases},
[/mm]
[mm] d{ij}=d{i}*\delta_{ij} [/mm] für alle i,j [mm] \in \{1,...,n\}, [/mm] zu keinem A [mm] \in T_{+} [/mm] kongruent ist. |
Hallo,
ich hab zunächst eine Verständnisfrage, was genau sagt mir dieses [mm] \delta_{ij} [/mm] und [mm] d_{i} [/mm] ?
Ich hab es so verstanden,dass die [mm] d_{ij} [/mm] die Einträge der Matrix D sind und [mm] d_{i} [/mm] die Einträde der Matrix D auf der Hauptdiagonalen,aber was das [mm] \delta_{ij} [/mm] soll,weiß ich nicht . Demnach würde die Matrix D so aussehen: [mm] D=\pmat{ -1 & ... & 0 \\ & 1 & \\ 0 & ... & 1 }, [/mm] wobei D eine n [mm] \times [/mm] n Matrix sein soll.
Zunächst nur dies, ich will nämlich sicher gehen ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe.
lg
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Hi,
dieses [mm] \delta_{ij} [/mm] ist das so genannte ![[]](/images/popup.gif) Kronecker-Symbol bzw. Kronecker-Delta.
Durch die Multiplikation damit werden also alle Einträge außerhalb der Diagonalen gleich 0.
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 04.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok, dann sieht D so aus: [mm] D=\pmat{ -1 & ... & 0 \\ & 1 & \\ 0 & ... & 1 } \in K^{n \times n}.
[/mm]
Wenn meine Überlegungen stimmen, dann muss man hier gar nicht viel beweisen. Sei A [mm] \in T_{+}. [/mm] Zu zeigen: Es Existiert kein S [mm] \in Gln_{\IR} [/mm] mit
[mm] \pmat{ -1 & ... & 0 \\ & 1 & \\ 0 & ... & 1 }=S^{T}*\pmat{ a_{11} & ... & 0 \\ & ... & \\ 0 & ... & a_{nn} }*S.
[/mm]
Eigentlich ist das klar, denn der Eintrag [mm] s_{11} [/mm] hat drei Möglichkeiten:
1. Er ist eine negative Zahl: Wenn ich ihn aber dann mit [mm] a_{11} [/mm] multipliziere,habe ich eine negative Zahl und wenn ich das wieder mit [mm] s_{11} [/mm] multipliziere,habe ich wieder eine positive Zahl,kann also nie -1 werden.
2. Er ist eine positive Zahl: Dann kann [mm] s_{11}*a_{11}*s_{11} [/mm] sowieso nie -1 werden.
3. Wenn er 0 ist,kann auch nicht -1 rauskommen.
Das heißt, es existiert kein solches S.
Könnte man das auch als einen Beweis nehmen, oder ist das eher eine Begründung?
lg
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> Ok, dann sieht D so aus: [mm]D=\pmat{ -1 & ... & 0 \\
& 1 & \\
0 & ... & 1 } \in K^{n \times n}.[/mm]
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> Wenn meine Überlegungen stimmen, dann muss man hier gar
> nicht viel beweisen. Sei A [mm]\in T_{+}.[/mm] Zu zeigen: Es
> Existiert kein S [mm]\in Gln_{\IR}[/mm] mit
Was zu zeigen wäre. Benutz doch die erste Aufgabe. Annahme: Es würde ein S existieren. Dann benutzt du die Transitivität der Relation aus.
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> [mm]\pmat{ -1 & ... & 0 \\
& 1 & \\
0 & ... & 1 }=S^{T}*\pmat{ a_{11} & ... & 0 \\
& ... & \\
0 & ... & a_{nn} }*S.[/mm]
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> Eigentlich ist das klar, denn der Eintrag [mm]s_{11}[/mm] hat drei
> Möglichkeiten:
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> 1. Er ist eine negative Zahl: Wenn ich ihn aber dann mit
> [mm]a_{11}[/mm] multipliziere,habe ich eine negative Zahl und wenn
> ich das wieder mit [mm]s_{11}[/mm] multipliziere,habe ich wieder
> eine positive Zahl,kann also nie -1 werden.
> 2. Er ist eine positive Zahl: Dann kann
> [mm]s_{11}*a_{11}*s_{11}[/mm] sowieso nie -1 werden.
> 3. Wenn er 0 ist,kann auch nicht -1 rauskommen.
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> Das heißt, es existiert kein solches S.
> Könnte man das auch als einen Beweis nehmen, oder ist das
> eher eine Begründung?
Sollte auch gehen. Gibt es den Fall 3. wirklich ??
>
> lg
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