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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Finden Sie ein [mm] x \in \mathbb Z [/mm] das die Kongruenzen
[mm] x \equiv 10 \mod 27 [/mm]
[mm] x \equiv 2 \mod 25 [/mm]
[mm] x \equiv 3 \mod 8 [/mm]
erfüllt. |
Guten Abend alle zusammen!
Zu dieser Aufgabe habe ich mehrere Lösungen, aber unter anderem auch diese nun folgende, welche ich nicht nachvollziehen kann. Ich verstehe dort nicht, wie man vorgegangen ist und vorallen warum so.
Ich hoffe, dass mir jemand dies kurz erläutern kann!
Lösung :
[mm] x \equiv 10 \mod 27 = n_1 [/mm]
[mm] x \equiv 2 \mod 25 = n_2 [/mm]
[mm] x \equiv 3 \mod 8 = n_3 [/mm]
( Warum dieser Ansatz ? )
[mm] \rightarrow [/mm] Finde r,s mit [mm] r \cdot n_1 + s \cdot n_2 = 1 [/mm]
[mm] 24 = 1 \cdot 25 + 2 [/mm]
[mm] 25 = 12 \cdot 2 + 1 [/mm]
[mm] 2 = 2 \cdot 1 + 0 \rightarrow 1 = ggT ( 27,25 ) [/mm]
[mm] 1 = 25 - 12\cdot 2 = 25 - 12 (27 - 25 ) = 13 \cdot 25 - 12 \cdot 27 [/mm]
[mm] \rightarrow r = -12 , s = 13 [/mm]
[mm] \rightarrow x \equiv y \mod n_1 \cdot n_2 [/mm] mit [mm] y = r \cdot n_1 \cdot e_2 + s \cdot n_2 \cdot e_1 = ... = 2602 [/mm]
( Was ist denn das für ein Ansatz ? )
wobei [mm] e_1 = 10, e_2 = 2, e_3 = 3 [/mm] und [mm] n_1 \cdot n_2 = 625 [/mm] ist.
(Handel es sich hier in den folgenden Zeilen um den Euklidischen Algorithmus ? )
[mm] x \equiv 3 \mod 8 [/mm]
[mm] \rightarrow \ 625 = 84 \cdot 8 + 3 [/mm]
[mm] 8 = 2 \cdot 3 + 2 [/mm]
[mm] 3 = 1 \cdot 2 + 1 [/mm]
[mm] 2 = 1 \cdot 2 + 0 \ \rightarrow ggT ( 675 , 8 ) = 1[/mm]
[mm] 1 = 3 - 2 = 3 - ( 8 - 2\cdot 3 ) = 3 \cdot 3 - 8 = 3 ( 375 - 84 \cdot 8 ) - 8 = 3 \cdot 685 - 253 \cdot 8 [/mm]
[mm] \rightarrow x = -253 \cdot 8 \cdot y + 3 \cdot 3 \cdot 675 [/mm]
[mm] = - 5260373 [/mm] erfüllt die Kondruenzen !
Vielen Dank im voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Mo 06.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
Ich habe die Rechnung nicht im Einzelnen verfolgt, aber das sieht mir wie die Anwendung des ![[]](/images/popup.gif) Chinesischen Restsatzes aus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Do 09.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Das Problem ist eher, dass wir zu diesem Zeitpunkt den chinesischen Restsatz noch nicht in der Vorlesung besprochen haben... ich werde es versuchen damit nachzuvollziehen.. Danke!
Viele Grüße
Irmchen
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