Kongruenzen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:06 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Alice schuldet Bob 210 Euro, Carlo 125 Euro. Alle drei besitzen nur Geldscheine
zu 12 oder 30 Euro. Kann Alice bei Bob oder Carlo oder bei beiden ihre
Schulden abbezahlen? |
Hallo,
mir ist nicht ganz klar, ob ich die obige Aufgabe richtig verstehe: Die Antworten
sind doch eigentlich trivial: Wenn sie Bob 7 Mal 30 Euro gibt, ist er ausbezahlt,
und Carlo kann sie nie ausbezahlen, da sie bei ihm eine ungerade Zahl von
Euronen schuldet, aber man mit 12 bzw. 30 Euro auch in Kombination nie eine
ungerade Zahl erreicht.
Nun gut: Wenn ich das richtig sehe, ist nun die Aufgabe, die simultanen
Kongruenzen
(i) $x [mm] \equiv [/mm] 210 [mm] \mod [/mm] 30 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 210 [mm] \mod [/mm] 12$
bzw.
(ii) $x [mm] \equiv [/mm] 125 [mm] \mod [/mm] 30 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 125 [mm] \mod [/mm] 12$
in eine Form
$$x [mm] \equiv [/mm] r [mm] \mod [/mm] ...$$
zu bringen, wobei letztere die Kongruenz aus dem chinesischen Restsatz
ist, die zu den anderen beiden simultanen dann gleichwertig ist (siehe https://matheraum.de/forum/triviale_Folgerung/t964681).
Mir ist noch nicht so ganz klar, wieso... Vielleicht ist es zu spät. Ich vermute,
dass dabei $r > [mm] 0\,$ [/mm] minimal sein muss, um eine Entscheidung zu treffen!
Aber mach' ich's einfach mal:
Klar ist
[mm] $$d=\ggT(30,12)=6=\underbrace{-1}_{=y}*\underbrace{30}_{=n}+\underbrace{3}_{=z}*\underbrace{12}_{=m}\,.$$
[/mm]
Mit dem chinesischen Restsatz bekommt man dann raus, dass (i) gleichwertig
ist zu
$$x [mm] \equiv [/mm] 210 [mm] \mod \frac{30*12}{6}$$
[/mm]
[mm] $$\iff [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 210 [mm] \mod [/mm] 60 [mm] \equiv [/mm] 30 [mm] \mod 60\,.$$
[/mm]
Wunderbar: Der "Rest" 30 läßt sich mit einem 30 Euro-Schein bezahlen.
Analog ist (ii) gleichwertig zu
$$x [mm] \equiv [/mm] 125 [mm] \mod [/mm] 60 [mm] \equiv [/mm] 5 [mm] \mod 60\,.$$
[/mm]
Hier sehe ich, dass ich die 5 nicht erreiche.
Frage: Stimmen denn überhaupt hier meine Überlegungen? Die wirken auf
mich eher irgendwie intuitiv strategisch, aber so 100% sicher bin ich mir
nicht, ob ich die Aufgabe hier richtig umsetze ^^
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> Alice schuldet Bob 210 Euro, Carlo 125 Euro. Alle drei
> besitzen nur Geldscheine
> zu 12 oder 30 Euro. Kann Alice bei Bob oder Carlo oder bei
> beiden ihre
> Schulden abbezahlen?
>
> Hallo,
>
> mir ist nicht ganz klar, ob ich die obige Aufgabe richtig
> verstehe: Die Antworten
> sind doch eigentlich trivial: Wenn sie Bob 7 Mal 30 Euro
> gibt, ist er ausbezahlt,
> und Carlo kann sie nie ausbezahlen, da sie bei ihm eine
> ungerade Zahl von
> Euronen schuldet, aber man mit 12 bzw. 30 Euro auch in
> Kombination nie eine
> ungerade Zahl erreicht.
>
Das beantwortet die Frage bereits vollständig und auch vollkommen ausreichend. Wieso unnötigerweise noch mehr Theorie auffahren, die umständlich das selbe nochmal sagt.
Aber die wichtigere Frage ist doch eigentlich:
Wo kriegt man 12 und 30 Euro Scheine her? Kann man sich die selber drucken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo sometree,
> Hallo Marcel,
> > Alice schuldet Bob 210 Euro, Carlo 125 Euro. Alle drei
> > besitzen nur Geldscheine
> > zu 12 oder 30 Euro. Kann Alice bei Bob oder Carlo oder
> bei
> > beiden ihre
> > Schulden abbezahlen?
> >
> > Hallo,
> >
> > mir ist nicht ganz klar, ob ich die obige Aufgabe richtig
> > verstehe: Die Antworten
> > sind doch eigentlich trivial: Wenn sie Bob 7 Mal 30
> Euro
> > gibt, ist er ausbezahlt,
> > und Carlo kann sie nie ausbezahlen, da sie bei ihm eine
> > ungerade Zahl von
> > Euronen schuldet, aber man mit 12 bzw. 30 Euro auch in
> > Kombination nie eine
> > ungerade Zahl erreicht.
> >
> Das beantwortet die Frage bereits vollständig und auch
> vollkommen ausreichend. Wieso unnötigerweise noch mehr
> Theorie auffahren, die umständlich das selbe nochmal
> sagt.
vor allen Dingen, weil ich hier selbst nicht den Sinn der simultanen
Kongruenzen verstehe. Das kann doch so irgendwie nicht stimmen -
denn z.B. 126 Euro könnte man so bezahlen.
> Aber die wichtigere Frage ist doch eigentlich:
> Wo kriegt man 12 und 30 Euro Scheine her? Kann man sich
> die selber drucken?
Das hab' ich mich bei der Aufgabe auch gefragt: Was sind das für blöde
Menschen, dass die nicht merken, dass sie mit Falschgeld rumlaufen! 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Sa 25.05.2013 | | Autor: | sometree |
Die simultanen Kongruenzen haben hier mMn auch nichts verloren.
Die Aufgabenstellung kann man als diophantische Gleichung(en) auffassen:
$12x+30y=210$
$12u+30v=125$
gesucht sind ganzzahlige Lösungen.
Das erste hat eine offensichtliche Lösungen, die zweite hat mod 2 keine Lösung also auch keine ganzzahlige.
Und genau das hast du bereits gesagt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die simultanen Kongruenzen haben hier mMn auch nichts
> verloren.
>
> Die Aufgabenstellung kann man als diophantische
> Gleichung(en) auffassen:
> [mm]12x+30y=210[/mm]
> [mm]12u+30v=125[/mm]
> gesucht sind ganzzahlige Lösungen.
> Das erste hat eine offensichtliche Lösungen, die zweite
> hat mod 2 keine Lösung also auch keine ganzzahlige.
> Und genau das hast du bereits gesagt.
ja, das macht Sinn. Dann frage ich mich jetzt nur noch, warum die Aufgabe
im Teil "Kongruenzen" gestellt wird? Denn klar: Obiges GLS habe ich mir
auch schon hingeschrieben und gerätselt, wie ich das als "Lösung von
Kongruenzrechnung" umschreiben kann. Aber irgendwie machte das für
mich so keinen Sinn, bzw. da blickte ich selbst nicht mehr durch, wie man
das begründen soll. Das Ergebnis war nur gar nichtmal so schlecht.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Sa 25.05.2013 | | Autor: | sometree |
Mein Verdacht wär dass der Aufgabensteller so von seinem bescheurten Gimmick (whoa- Realitätsbezug-Geld) abgelenkt war, dass er nicht mehr kapiert hat was er da für eine Aufgabe sich ausgedacht hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi sometree,
> Mein Verdacht wär dass der Aufgabensteller so von seinem
> bescheurten Gimmick (whoa- Realitätsbezug-Geld)
realistisches Geld vor allem. Da fragt man sich echt, ob der nicht ein
wenig mehr hätte nachdenken können, um eine sinnvolle realistische
Aufgabe zu stellen. Bei solchen Aufgabenkonstruktionen verstehe ich
auch nicht mehr den Sinn...
> abgelenkt
> war, dass er nicht mehr kapiert hat was er da für eine
> Aufgabe sich ausgedacht hat.
Du bist also der Ansicht, dass die Aufgabe eigentlich nicht ins Kapitel
Kongruenzrechnung gehören sollte, richtig? Als "Lösungshinweis" steht
da auch: "Man berechne den ggT(12,30)=6 und untersuchen Sie, ob Sie
damit die Schulden ausgleichen können." (Das Buch ist das im verlinkten
Link verlinkte Buch: Elementare und algebraische Zahlentheorie, Müller-
Stach...)
Deswegen kam ich ja auch überhaupt auf die Idee, die Kongruenzen da
mal so hinzuschreiben. Aber so ganz kapier' ich das nicht...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 So 26.05.2013 | | Autor: | sometree |
Da ich ein Exemplar des Buches bei mir rumliegen hab und es prinzipiell auch ganz gut finde hab' ich grad nachgeschaut.
Die Aufgabe würde im Kapitel davor deutlich mehr Sinn ergeben.
Es steht ja auch in Lösungshinweisen was von ggT...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi sometree,
> Da ich ein Exemplar des Buches bei mir rumliegen hab
uh, praktisch. 
> und es
> prinzipiell auch ganz gut finde
Ich auch. Bisher habe ich nur Kleinigkeiten gesehen, die mich gestört
hatten. (Wegen zwei habe ich mal die Autoren angeschrieben, mal
gespannt, ob das bei 'ner neuen Version korrigiert wird.)
> hab' ich grad nachgeschaut.
> Die Aufgabe würde im Kapitel davor deutlich mehr Sinn
> ergeben.
> Es steht ja auch in Lösungshinweisen was von ggT...
Ja: Von ggT(12,30) - diesen Hinweis bezog ich auf den chinesischen Restsatz
- oder kann man hier mit Satz 4.8 was machen...
Vielleicht passt die Aufgabe ja doch ins Kapitel 4, aber so ganz klar, wie die
das meinen, ist mir das nicht ^^
Na wenigstens rätsel ich nicht alleine dran rum. Vielleicht sehe ich's, wenn
ich mir die anderen Aufgaben mal angeguckt habe...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
mittlerweile sind mir die Tomaten von den Augen gefallen ^^
> Alice schuldet Bob 210 Euro, Carlo 125 Euro. Alle drei
> besitzen nur Geldscheine zu 12 oder 30 Euro. Kann Alice
> bei Bob oder Carlo oder bei beiden ihre Schulden abbezahlen?
Ich weiß nun, wie es gemeint war:
Es gilt etwa
[mm] $210=12r+30s\,$
[/mm]
[mm] $\iff 12\;|\;210-30s$
[/mm]
[mm] $\iff [/mm] 210-30s [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] -12$
[mm] $\iff [/mm] 30s [mm] \equiv [/mm] 210 [mm] \mod 12\,.$
[/mm]
Mit [mm] $\ggT(30,12,210)=6$ [/mm] kann man das zunächst auch umschreiben zu
[mm] $\iff [/mm] 5s [mm] \equiv [/mm] 35 [mm] \mod 2\,.$
[/mm]
Nach Satz 4.8 folgt wegen [mm] $\ggT(5,2)=1=1*5+(-2)*2\;\hat=\;y*a+z*b$
[/mm]
[mm] $\iff [/mm] s [mm] \equiv \frac{1*35}{1} \mod \frac{2}{1}$
[/mm]
[mm] $\iff [/mm] s [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod 2\,.$
[/mm]
D.h., Alice muss nur eine ungerade Anzahl an 30-Euro-Scheinen bezahlen,
und der Rest kann mit den 12 Euro-Scheinen bezahlt werden. Analog
rechnet man nach, dass sie ihre Schulden bei Carlo nicht bezahlen kann!
Gruß,
Marcel
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