Kongruenzen - Verständnisfrage < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kongruenzen bestimmen
> Hi zusammen,
>
> da bin ich schon wieder 
>
> Eine Frage hätte ich noch zu den Kongruenzen:
>
> Einmal steht in der Aufgabenstellung
>
> [mm]8 kongruent 20mod4[/mm]
$8 [mm] \equiv [/mm] 20 [mm] \pmod [/mm] 4$ (oder $8 [mm] \equiv [/mm] 20 [mm] \mod [/mm] 4$)
> und das andere mal wieder:
>
> [mm]a kongruent 16mod5[/mm]
$a [mm] \equiv [/mm] 16 [mm] \pmod [/mm] 5$
> Wo liegt denn hier der Unterschied?
Häh?
$8 [mm] \equiv [/mm] 20 [mm] \pmod [/mm] 4$
ist gleichbedeutend mit
$4 [mm] \mid (8-20)\,,$
[/mm]
was wegen $4 [mm] \mid [/mm] -12$ Sinn macht. Du kannst also diese Kongruenz auf
"Korrektheit" prüfen. (So wäre $8 [mm] \equiv [/mm] 20 [mm] \pmod [/mm] 5$ falsch, also richtig wäre
$8 [mm] \not\equiv [/mm] 20 [mm] \pmod 5\,.$)
[/mm]
Und
$a [mm] \equiv [/mm] 16 [mm] \pmod [/mm] 5$
ist gleichbedeutend mit
$5 [mm] \mid (a-16)\,.$
[/mm]
Das ist übrigens nichts anderes als eine Charakterisierung von
$a [mm] \in \{16+z*5:\;\; z \in \IZ\}=\{16,\;16-5,\;16+5,\;16-10,\;16+10,\;16-15,\;16+15,...\}=\{16,\;11,\;21,\;6,\;26,\;1,\;31,\;...\}$
[/mm]
Allgemein schreibt man für $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$
[/mm]
$a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ (oder $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \pmod [/mm] n$)
genau dann, wenn
$n [mm] \mid (a-b)\,.$
[/mm]
Zudem
$a [mm] \not\equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ (oder $a [mm] \not\equiv [/mm] b [mm] \pmod [/mm] n$)
genau dann, wenn
$n [mm] \nmid (a-b)\,.$
[/mm]
> Vielen Dank für Eure Hilfe
Ich empfehle, ab und an etwa einen Blick in das Buch "Elementare und
algebraische Zahlentheorie" von Müller-Stach, Piontkowski zu werfen.
Evtl. kannst Du es in der Bib ausleihen (notfalls Fernleihe).
> PS: Wo finde ich denn das
> Zeichen für kongruent. Wenn ich es von den Formeln unten
> übernehme, zeigt es nicht das gewünschte Zeichen an 
Guck' Dir den Quelltext an oder halte die Maus über die Formeln oder
klick' auf die Formeln.
Ansonsten auch
https://matheraum.de/mm [mm] ([nomm]$\equiv$[/nomm] [/mm] ist sicher das von Dir gesuchte Zeichen)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Michi4590 |
Vielen Dank, ihr seit einfach klasse hier
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Mo 27.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > Kongruenzen bestimmen
> > Hi zusammen,
> >
> > da bin ich schon wieder
> >
> > Eine Frage hätte ich noch zu den Kongruenzen:
> >
> > Einmal steht in der Aufgabenstellung
> >
> > [mm]8 kongruent 20mod4[/mm]
>
> [mm]8 \equiv 20 \pmod 4[/mm] (oder [mm]8 \equiv 20 \mod 4[/mm])
Das kann man auch etwas umgangssprachlicher so formulieren:
"Die Zahl 8 lässt den gleichen Rest wie die Zahl 20 bei Teilung durch 4."
>
> > und das andere mal wieder:
> >
> > [mm]a kongruent 16mod5[/mm]
"Die Zahl a lässt den selben Rest wie die Zahl 16 bei Teilung durch 5."
(und da 16 bei Teilung durch 5 den Rest 1 lässt, steht a also für alle Zahlen, die bei Teilung durch 5 auch den Rest 1 lasssen, also 1, 6, 11,16,..., aber auch -4, -9, -14,...
Gruß Abakus
>
> [mm]a \equiv 16 \pmod 5[/mm]
>
> > Wo liegt denn hier der Unterschied?
>
> Häh?
>
> [mm]8 \equiv 20 \pmod 4[/mm]
>
> ist gleichbedeutend mit
>
> [mm]4 \mid (8-20)\,,[/mm]
>
> was wegen [mm]4 \mid -12[/mm] Sinn macht. Du kannst also diese
> Kongruenz auf
> "Korrektheit" prüfen. (So wäre [mm]8 \equiv 20 \pmod 5[/mm]
> falsch, also richtig wäre
>
> [mm]8 \not\equiv 20 \pmod 5\,.[/mm])
>
> Und
>
> [mm]a \equiv 16 \pmod 5[/mm]
>
> ist gleichbedeutend mit
>
> [mm]5 \mid (a-16)\,.[/mm]
>
> Das ist übrigens nichts anderes als eine Charakterisierung
> von
>
> [mm]a \in \{16+z*5:\;\; z \in \IZ\}=\{16,\;16-5,\;16+5,\;16-10,\;16+10,\;16-15,\;16+15,...\}=\{16,\;11,\;21,\;6,\;26,\;1,\;31,\;...\}[/mm]
>
> Allgemein schreibt man für [mm]a,b \in \IZ[/mm] und [mm]n%20%5Cin%20%5CIN[/mm]
>
> [mm]a \equiv b \mod n[/mm] (oder [mm]a \equiv b \pmod n[/mm])
>
> genau dann, wenn
>
> [mm]n \mid (a-b)\,.[/mm]
>
> Zudem
>
> [mm]a \not\equiv b \mod n[/mm] (oder [mm]a \not\equiv b \pmod n[/mm])
>
> genau dann, wenn
>
> [mm]n \nmid (a-b)\,.[/mm]
>
> > Vielen Dank für Eure Hilfe
>
> Ich empfehle, ab und an etwa einen Blick in das Buch
> "Elementare und
> algebraische Zahlentheorie" von Müller-Stach, Piontkowski
> zu werfen.
> Evtl. kannst Du es in der Bib ausleihen (notfalls
> Fernleihe).
>
> > PS: Wo finde ich denn das
> > Zeichen für kongruent. Wenn ich es von den Formeln unten
> > übernehme, zeigt es nicht das gewünschte Zeichen an
>
> Guck' Dir den Quelltext an oder halte die Maus über die
> Formeln oder
> klick' auf die Formeln.
>
> Ansonsten auch
>
> https://matheraum.de/mm
> ([mm]\equiv[/mm] ist sicher das von Dir gesuchte
> Zeichen)
>
> Gruß,
> Marcel
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