Kongruenzrechnung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 20.08.2012 | | Autor: | melodie |
| Aufgabe | | Berechnen Sie (11+13)* 3 in [mm] \IZ_{14} [/mm] |
habe leider noch keine Idee.. mit meinen Ansatz (11+13)*3 =14 komme ich auch nicht weiter
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Hi,
du rechnest im Restklassenring [mm]\IZ/14\IZ[/mm].
Für [mm]a,b\in \IZ/n\IZ[/mm] rechnet man "a+b modulo n" statt "a+b".
Ist [mm]a,b\in \IZ/n\IZ[/mm], so sind a und b Repräsentanten für [mm]a+xn[/mm] und [mm]b+yn[/mm] und es gilt:
[mm]\blue{a}+xn + \blue{b}+yn = (\blue{a+b}) +zn[/mm] also a+b modulo n.
Da es ein Ring ist gilt auch [mm](\blue{a}+xn )( \blue{b}+yn )= (\blue{ab}) +\hat{z}n[/mm].
Bei dir ist nun n=14.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Mo 20.08.2012 | | Autor: | melodie |
ist mein a dann = 33 und b= 39 ? und soll ich daraus x,y,z bestimmen oder wie? ich weiss ehrlich gesagt gar nicht was in der Aufgabe verlangt wird :s
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Hallo melodie,
ist dir die Restklassenrechnung noch ganz neu?
Die Aufgabe möchte sozusagen nichts anderes von Dir, als dass Du ermittelst, welchen Rest ((11+13)*3) bei der Teilung durch 14 lässt. Das lässt sich noch im Prinzip mit Mitteln der Grundschule (sagen wir gegen Ende der 3. Klasse) bestimmen: 11+13=24, 24*3=72, 72:14=5 Rest 2.
Das Ergebnis ist nun nur der besagte Rest, also 2.
Der Witz an der Sache ist, dass mit dieser Rechenweise einige weitreichende Aussagen möglich werden, gerade weil man den ganzzahligen Quotienten vernachlässigt bzw. einfach nicht mehr berücksichtigt.
Erst einmal aber sollst Du diese Rechenweise lernen.
Man könnte auch so vorgehen: [mm] 11\equiv-3\mod{14}, [/mm] weil 11 und -3 bei der Teilung durch 14 den gleichen Rest lassen.
Analog gilt auch [mm] 13\equiv-1\mod{14}.
[/mm]
Dann ist [mm] (11+13)*3\equiv((-3)+(-1))*3\equiv(-4)*3\equiv-12\equiv 2\mod{14}, [/mm] weil -12 und 2 bei Teilung durch 14 den gleichen Rest lassen.
Zahlen, die den gleichen Rest lassen, gehören zur gleichen "Restklasse".
Soweit die anschauliche Erklärung, die wirklich im Prinzip schon Grundschülern beizubringen wäre.
Trotzdem musst du Dich mit dem Hintergrund beschäftigen, also faktoriellen Ringen. Manche der Aussagen, die durch diese Rechen- und Denkweise möglich werden, sind nur unter bestimmten Voraussetzungen gültig.
Nimms bis dahin einfach mal so hin und rechne Deine Übungsaufgaben. Es wird schon sehr bald viel spannender, versprochen.
Grüße
reverend
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