Kongruenzrelation Klassen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo, ich habe eine Frage zu Folgender Aufgabe:
gegeben: [mm] B := \IN \times \IN* [/mm] der Brüche kann durch
[mm] ( a_{1} , b_{1}) + (a_{2} , b_{2} ) := ( a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} , b_{1} b_{2} ) [/mm]
[mm] ( a_{1} , b_{1} ) * ( a_{2} , b_{2} ) := ( a_{1} a_{2} , b_{1} b_{2} ) [/mm]
(b) Man führe auf dieser Struktur (B,+, ·) eine Kongruenzrelation [mm] \sim [/mm] ein (Beweis!),
so daß [mm] ( B/ \sim , *) [/mm] eine abelsche Gruppe wird (Beweis!).
Die Kongruenzrelation hab ich schon, es ist die Quotientengleichheit, meine Frage ist jetzt, wenn ich mit dieser Kongruenzrelation die Klasseneinteilung vornehme, dann ist doch [mm] B/ \sim = \IQ_{+} [/mm]oder?
und dann muss ich doch nur noch zeigen, dass [mm] ( \IQ_{+} , * ) [/mm] kommutative Gruppe ist oder fehlt da noch was wichtiges ?
Danke für eure Hilfe.
Gruß Toyo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Toyo!
Verüble mir nicht, wenn meine Frage sinnlos und Resultat meiner Unkenntnis ist, aber folgendes verwirrt mich:
Es ist doch jede Kongruenzrelation eine Äquivalenzrelation - aber die Menge aller Äquivalenzklassen bildet doch eine Partition der Menge, auf der sie definiert ist. Somit ist doch [mm] $B\setminus \sim=\emptyset$. [/mm] Wo liegt hier mein Denkfehler?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Gnometech |
Hallo Hanno!
Es ist eine etwas verwirrende Schreibweise, zugegeben... aber wenn man eine Menge $B$ vorgegeben hat und auf dieser eine Äquivalenzrelation [mm] $\sim$ [/mm] (bzw. Kongruenzrelation), dann bezeichnet man die Menge der Äquivalenzklassen auch oft mit $B / [mm] \sim$ [/mm] und liest das "B modulo Relation".
Ein Spezialfall davon ergibt sich bei Gruppen. Wenn $G$ eine abelsche Gruppe ist und $U$ eine Untergruppe, dann bezeichnet $G / U$ die sogenannte "Faktorgruppe" - es ist die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der Relation: $g [mm] \sim [/mm] h : [mm] \Leftrightarrow [/mm] g - h [mm] \in [/mm] U$.
In abelschen Gruppen überträgt sich die Gruppenstruktur auf die Menge der Äquivalenzklassen (in allg. Gruppen muß man verlangen, dass $U$ ein sogenannter "Normalteiler" ist, damit das so ist - aber das kommt später.)
Langer Rede kurzer Sinn: die Schreibweise $B / [mm] \sim$ [/mm] hat nichts mit der Mengendifferenz zu tun. 
Schöne Grüße,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Lars!
Danke für deine Erläuterungen, das kam mir bloß so spanisch vor :)
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Toyo!
Die Antwort ist ein klares "Jein". Ja, Du hast Recht, die entstehende Menge ist tatsächlich isomorph zu [mm] $\IQ_+$ [/mm] - und zwar isomorph als Gruppe.
Der Haken ist, dass Du das erst zeigen kannst, wenn Du nachgewiesen hast, dass beide Mengen Gruppen sind und dann kannst Du die Isomorphie zeigen.
In diesem Fall ist es also vermutlich besser, einfach zu zeigen, dass auf $B / [mm] \sim$ [/mm] eine Gruppenstruktur existiert und dass die Menge bzgl. dieser eine abelsche Gruppe bildet.
Viel Erfolg! Wenn man beim Beweis [mm] $\IQ_+$ [/mm] im Hinterkopf behält, ist das ja auch nicht mehr sooo schwer...
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Lars,
wollte Dich nochmal fragen, was man jetzt unter [mm] B/ \sim [/mm] versteht. Das ist doch jetzt die Menge aller Klassen von quotientengleichen Paaren oder? Aber ist das nicht direkt [mm] \IQ_{+} [/mm] ?
Wie würdest du die geschweifte klammer füllen ?
[mm] B/ \sim = [/mm] { }
Und sehe ich es richtig, dass die Gruppen Operationen dann wie folgt definiert sind:
[mm] \overline{(a_1 , b_1)} + \overline{(a_2 , b_2)} = \overline{(a_1 b_2 + a_2 b_1 , b_1 b_2)} [/mm]
[mm]
[mm] \overline{(a_1 , b_1)} * \overline{(a_2 , b_2)} = \overline{(a_1 a_2 , b_1 b_2)} [/mm]
stimmt das ? Danke für Deine Hilfe! Gruß Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Toyo!
> wollte Dich nochmal fragen, was man jetzt unter [mm]B/ \sim[/mm]
> versteht. Das ist doch jetzt die Menge aller Klassen von
> quotientengleichen Paaren oder?
Mir ist nicht klar, was du mit "quotientengleich" meinst. Vermutlich aber das, was ich gleich aufschreiben werde. 
> Aber ist das nicht direkt
> [mm]\IQ_{+}[/mm] ?
Nein, es ist nur isomorph dazu, hat also die gleiche Gruppenstruktur. Die beiden Gruppen können nicht gleich sein, weil in der einen Gruppe Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen und in der anderen Gruppen positive rationale Zahlen liegen, also unterschiedliche Objekte. Man kann die beiden Gruppen aber durch den Isomorphismus
[mm] $\varphi \, [/mm] : [mm] \, \begin{array}{ccc} (\IN \times \IN)/ \sim & \to & \IQ_+ \\[5pt] \overline{(a,b)} & \mapsto & \frac{a}{b} \end{array}$
[/mm]
identifizieren.
> Wie würdest du die geschweifte klammer füllen ?
> [mm]B/ \sim =[/mm] { }
Es gilt:
[mm] $B/\sim [/mm] = [mm] \{\overline{(a,b)}\, : \, (a,b) \in \IN \times \IN\}$
[/mm]
mit
[mm] $\overline{(a,b)} [/mm] = [mm] \{(c,d)\in \IN \times \IN \, : (a,b) \sim (c,d)\} [/mm] = [mm] \{(c,d) \in \IN \times \IN\, : \, bc=ad\}$.
[/mm]
> Und sehe ich es richtig, dass die Gruppen Operationen dann
> wie folgt definiert sind:
> [mm]\overline{(a_1 , b_1)} + \overline{(a_2 , b_2)} = \overline{(a_1 b_2 + a_2 b_1 , b_1 b_2)}[/mm]
>
> [mm]
[mm]\overline{(a_1 , b_1)} * \overline{(a_2 , b_2)} = \overline{(a_1 a_2 , b_1 b_2)}[/mm]
stimmt das ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Jetzt scheint alles klar zu sein, oder?
Liebe Grüße
Stefan
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