Kongruenzrelation und Inverses < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Mi 07.11.2007 | | Autor: | mg07 |
| Aufgabe | Die Addition + auf [mm] \IZ [/mm] induziert eine Addition auf [mm] \IZ/ \equiv [/mm] k:
[a] + [b] := [a+b] (Stern)
...
(G,*) Gruppe, [mm] \equiv [/mm] Äquivalenzrelation auf G, [mm] G/\equiv [/mm] Menge der Ä-Klassen
Proposition: Äquivalenzrelation
(i) Durch [a]*[b] := [a*b] (Stern) wird eine Gruppenstruktur auf G/ [mm] \equiv [/mm] definiert
(ii) ist verträglich mit *, d.h.
a [mm] \equiv [/mm] a', b [mm] \equiv [/mm] b' => a*b [mm] \equiv [/mm] a'*b'
Man nennt [mm] \equiv [/mm] dann eine Kongruenzrelation (bzgl. (G,*))
Beweis:
(ii) => (i) wegen (i) definiert (Stern) jedenfalls eine Abb. *: [mm] G/\equiv [/mm] x [mm] G/\equiv [/mm] -> [mm] G/\equiv [/mm]
*Assoziativität ist klar
*neutrales Element: [1]
*inverses El. zu [a] ist [a^(-1)] |
Hi, ich verstehe nicht, wieso es bei diesem Beispiel mit [mm] G/\equiv [/mm] zu jeder Ä-Klasse eine inverse Ä-Klasse geben soll. Wahrscheinlich versteh ich den Zusammenhang einfach falsch.
In einer Kongruenzrelation verhalten sich die Ä-Klassen doch wie Gruppenelemente einer Gruppe zueinander. Der Normalteiler N ist dabei einfach die neutrale Ä-Klasse. Für alle g G gilt gN = g. So doch oder.
Wenn jetzt [A^(1)] invers zu [A] sei, würde doch gelten: a^(-1) [A^(-1)], a [A] => a^(-1) * a [1].
Gelte jetzt kongruent modulo k.
[0],...,[k-1] sind die Restklassen und die inversen zueinander?
[1]^(1)=[1] wär soweit die einzige Mögliche. Gedanke bestimmt falsch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
ich finde es nicht so leicht aus dem, was Du schreibst, die eigentliche Frage herauszufiltern.
Aber es geht wohl um die Gruppenstruktur v. [mm] (\IZ/ [/mm] $ [mm] \equiv [/mm] $, [mm] \*), [/mm] und Dein Problem sind die Inversen.
Du schreibst:
>*inverses El. zu [a] ist [a^(-1)]
Das ist ja grober Unfug, da für [mm] a\in \IZ [/mm] in den weitaus meisten Fällen a^(-1) überhaupt keine ganze Zahl ist, also [a^(-1)] überhaupt nicht definiert.
Du suchst also eher [mm] [a]^{-1}.
[/mm]
Tja, und da hast Du in der Tat ein Problem, z.B. für k=6.
Zu [mm] [2]_6 [/mm] gibt's kein Inverses bzgl. [mm] \*, [/mm] rechne es durch.
Oder sollten zu k irgenwelche Voraussetzungen gemacht worden sein, die Du verschweigst???
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Do 08.11.2007 | | Autor: | mg07 |
Genau, die Hauptfrage ist eigentlich, wieso es zu jeder Restklasse [a] aus [mm] (\IZ/ \equiv [/mm] , *) eine dazu inverse Restklasse [mm] [a]^{-1} [/mm] geben sollte.
Durchgerechnet hab ich es vorher ja schon, deswegen schloss ich daraus, dass ich z.B. die Gruppenstruktur einer Kongruenzrelation missverstanden habe. Doch da lieg ich ja richtig mit oder eben den Bezug vom Stern falsch gedeutet habe und ich glaube, genau das wird es auch sein.
Naja, dachte, der Auszug wäre schon ausreichend. Aber genau das ist er nicht. Einige Zeilen vorher definiert sich der Prof (G,*) = [mm] (\IZ,+). [/mm] Wegen dem Stern wird er sich mit (G/ [mm] \equiv,*) [/mm] auf [mm] (\IZ/ \equiv,+) [/mm] beziehen. Dann ergibt das auch Sinn.
Wieso der Normalteiler aber aus den Elementen mit Rest 1 -> [1] sein soll find ich trotzdem komisch. Weil die Restklasse [1] sehr speziell ist. Das ist wohl eine allgemeine Schreibweise. [mm] [a^{-1}] [/mm] ist für [mm] (\IZ [/mm] / [mm] \equiv,*) [/mm] natürlich totaler Humbug. Aber genau so steht es ja im Skript. Glaube, damit bezieht sich der Prof einfach darauf, dass alle Elemente aus [mm] [a^{-1}] [/mm] zusammen invers zu allen Elementen aus [a] bzgl. einer allg. assoz. Verknüpfung sind, die jetzt einfach die Form von * hat.
Was nicht fehlen darf ist natürlich ein großes Dankeschön, dass du es durchgelesen und mir geantwortet hast!!!
|
|
|
|
