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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 So 13.01.2008 | | Autor: | DaReava |
| Aufgabe | Es seien $ [mm] g,h\in\ S_n [/mm] $ Elemente der Permutationsgruppe zum Index n.
Das Element g heißt konjugiert zu h, wenn es ein $ [mm] k\in\ S_n [/mm] $ gibt, so dass $ [mm] g=khk^{-1} [/mm] $.
Dies definiert die Relation:
$ gRh [mm] \gdw [/mm] $ g ist konjugiert zu h.
(a) Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist!
Die Äquivalenzklassen dieser Relation heißen Konjugationsklassen von [mm] S_n [/mm]
(b) Bestimmen Sie die Konjugationsklassen von $ [mm] S_3 [/mm] $ und von $ [mm] S_4 [/mm] $ |
Hallo wieder!
Ich habe genau dieselbe Frage hier im Forum schon einmal gestellt,
allerdings unter einem anderen Gesichtspunkt.
Aufgabe (a) konnte ich bereits lösen.
Jetzt ist mein Problem, dass ich bei Aufgabe (b) nicht weiß, wie eine solche Äquivalenzklasse "aussieht"...
Mir ist klar, dass immer die Zykel gleicher Länge eine Äquivalenzklasse in [mm] S_n [/mm] bilden.
Aber wie schreibe (und erst recht zeige) ich das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 So 13.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
für die [mm] $S_3$ [/mm] lässt sich das ja noch problemlos von hand machen: gibt zu jedem zyklentyp einen repräsentanten an und zu jedem element des [mm] $S_3$ [/mm] von diesem zyklentyp eine permutation vermöge welcher dieses element mit dem repräsentanten konjugiert ist. da konjugierte elemente die gleiche ordnung haben, sind die dann gefundenen konjugiertenklassen auch tatsächlich verschieden.
bei der [mm] $S_4$ [/mm] lässt sich das (wenn auch mit etwas mehr aufwand) genauso machen. alternativ zeige folgende aussage:
ist [mm] $\sigma \in S_n$ [/mm] und [mm] $\tau [/mm] = [mm] (t_1, [/mm] ..., [mm] t_k) \in S_n$ [/mm] ein $k$-zykel, dann ist [mm] $\sigma^{-1} \tau \sigma [/mm] = [mm] (\sigma(t_1), [/mm] ..., [mm] \sigma(t_k))$ [/mm] auch wieder ein $k$-zykel. aus dieser aussage folgt dann ales, da sich jedes element der [mm] $S_n$ [/mm] in disjunkte zykeln zerlegen lässt, auf die man dann einzeln obige aussage anwenden kann.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 So 13.01.2008 | | Autor: | DaReava |
Super, vielen Dank für die Antwort.
Nach einigem Rumprobieren habe ich es so geschafft, wie du vorgeschlagen hast.
LG reava
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