Konsistenz eines Schätzers < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie das folgende Regressionsmodell: [mm]yi=\beta1 + \beta2xi + ui[/mm]
Wie wirkt sich ein Messfehler in der erklärenden Variable aus, der zufällig um den wahren Wert schwankt? |
Also es geht hier um einen klassischen Messfehler: Xi=Xi* + ei, wobei E[ei]=0, Var(ei)= [mm] \sigma [/mm] ², Cov(Xi*,ei)=0
Wahres Modell : [mm]Yi=\beta1+\beta2Xi*+vi[/mm]
Betrachtetes Modell: [mm]Yi=\beta1+\beta2Xi+ui=\beta1+\beta2Xi*-\beta2ei+vi[/mm]
Die Herleitung des Schätzers ist [mm] \beta2^{kq}=\bruch{\summe_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})(yi-\overline{y})}{\summe_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})^{2}}
[/mm]
=ß1 [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})}{\summe_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})^{2}} [/mm] + ß2 [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})*xi}{\summe_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})*xi} [/mm] + [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}(yi-\overline{x})*ui}{\summe_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})^{2}}
[/mm]
=ß2 + [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})*ui*1/N}{\summe_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})^{2}*1/N}
[/mm]
[mm]plim(\beta2^{kq})=\beta2 + \bruch{Cov(x, u)}{Var(x)}[/mm]
[mm]Cov(x,u)=Cov(x,v-\beta2e)=Cov(x,v)-\beta2*Cov(x,e)[/mm]
NR:
Wie zeige ich, dass Cov(x,v)=0 ist?
[mm]Cov(x,e)=E(xe)-E(x)*E(e)[/mm]
[mm]=E[(x*+e)*e]=E(x*e)+E(e²)=Var(e)[/mm]
weil [mm]Cov(x*,e)=E(x*e)-E(x*)E(e)=E(x*e) und Cov(x*,e)=0[/mm]
weil [mm]Var(e)=E(e²)-[E(e)]²=E(e²)[/mm]
[mm]Cov(x,u)= - \beta2*Var(e)[/mm]
Eingesetzt und weitergelöst müsste
[mm] plim(\beta2^{kq})=\beta2 \bruch{Var(x*)}{Var(x*)+Var(e)}
[/mm]
geben.
--> ß2 ist somit verzerrt und nicht konsistent.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Sa 19.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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