Konstante Funktion Beweis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei [mm] I\subseteq\IR [/mm] ein Intervall mit mindestens zwei Punkten und f: I [mm] ->\IR [/mm] eine Funktion mit der Eigenschaft:
Es gibt ein [mm] c\in\IR [/mm] ,c >0 und ein [mm] b\in\IR [/mm] , b > 1,so dass
[mm] |f(x)-f(y)|\le c*|x-y|^{b} [/mm] für alle [mm] x,y\in [/mm] I mit [mm] x\not=y.
[/mm]
Beweisen Sie: f ist eine konstante Funktion. |
Guten Tag,
habe folgendes versucht: Angenommen f wäre konstant, dann muss gelten: [mm] |f(x)-f(y)|\le c*|x-y|^{b} \gdw [/mm] |x-y| [mm] \le c*|x-y|^{b} \gdw \bruch{1}{c} \le |x-y|^{b-1}
[/mm]
Hm und nun wollte ich irgendwie es mir zu nutzen machen, das die reellen Zahlen archimedisch angeordnet sind. Bin ich überhaupt auf dem richtigen weg? Hoffe ihr könnt mir helfen.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Nimm x, [mm] x_0 \in [/mm] I und x [mm] \ne x_0. [/mm] Dann ist
(*) $ [mm] \bruch{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|} \le c|x-x_0|^{b-1}$
[/mm]
Was macht die rechte Seite von (*) für x [mm] \to x_0 [/mm] und was die linke ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm dann steht da [mm] |f'(x_{0})| \le [/mm] 0. Für [mm] f'(x_{0}) [/mm] = 0 handelt es sich um eine konstante Funktion. Da hier die Betragsstriche noch sind entfällt der Fall [mm] f'(x_{0}) [/mm] < 0, oder?
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Hallo Loriot95,
> Hm dann steht da [mm]|f'(x_{0})| \le[/mm] 0. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Für [mm]f'(x_{0})[/mm] = 0
> handelt es sich um eine konstante Funktion.
Ja, weil das für jedes [mm] $x_0\in [/mm] I$ gilt!
> Da hier die
> Betragsstriche noch sind entfällt der Fall [mm]f'(x_{0})[/mm] < 0,
> oder?
Genau, es ist [mm] $0\le|f'(x_0)|\le [/mm] 0$, also [mm] $|f'(x_0)|=0$
[/mm]
Damit [mm] $f'(x_0)=0$ [/mm]
Und das für jedes [mm] $x_0\in [/mm] I$, also $f$ konstant
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank. Ich glaube da wäre ich nie drauf gekommen, trotz so einer leichten Umformung.
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