Konstante Funktion beweisen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
Die Funktion f sei für $x < 1$ wie folgt definiert:
[mm] $f(x)=arctan(\bruch{1+x}{1-x})-arctan(x)$
[/mm]
a) Zeigen sie: f ist konstant, d.h. mit einer geeigneten Zahl C gilt $f(x)=C$ für alle x.
b) Berechnen Sie C.
a)
Ich hab jetzt erst mal etwas überlegt und dann die Funktion erst mal in maxima plotten lassen. Einmal beide Teile einzeln und einmal die gesamte Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aus diesen Bildern kann man recht schön erkennen, dass es sich um eine konstante Funktion handelt, aber das ist ja noch kein Beweis, denke ich mal. Schön ist halt, dass man sieht warum es in der Aufgabe heißt für $x<1$. Sie ist zwar auch für $x>1$ konstant, aber mit einem anderen Wert C. Wie soll ich es also zeigen? Wenn in den Aufgaben steht "Zeigen Sie", deutet das meist auf eine Vollständige Induktion hin. Aber wie mache ich hier den Induktionsanfang?
[mm] $arctan(\bruch{1+x}{1-x})-arctan(x)=arctan(\bruch{1+(x+1)}{1-(x+1)})-arctan(x+1)$
[/mm]
Ist der Ansatz Vollständiger Induktion um es zu zeigen hier überhaupt der richtige Weg, bevor ich da weiter rechne?
b)
Nun, die b ist ja relativ einfach. Einfach ein $x<1$ einsetzen und man bekommt $C=0.6986$ heraus.
Gruß
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Leite Deine Funktion [mm]f(x) \ = \ \arctan\left(\bruch{1+x}{1-x}\right)-\arctan(x)[/mm] doch mal ab (und fasse etwas zusammen).
Für eine konstante Funktion $f(x) \ = \ C$ solltest Du dann erhalten $f'(x) \ = \ 0$.
Das Verfahren der vollständigen Induktion kannst Du hier nicht anwenden, da dieses ja nur funktioniert für separate (sprich: schrittweise) Zählervariablen.
Gruß
Loddar
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> Leite Deine Funktion [mm]f(x) \ = \ \arctan\left(\bruch{1+x}{1-x}\right)-\arctan(x)[/mm]
> doch mal ab (und fasse etwas zusammen).
Etwas ist gut. Ich hab ewig gerechnet und zusammen gefasst, aber komme nicht auf 0. Maxima liefert als Zwischenergebnis das und nach dem vereinfachen dann 0. Da komme ich aber nicht drauf.
[mm] $${{{{x+1}\over{\left(1-x\right)^2}}+{{1}\over{1-x}}}\over{{{\left(x+
1\right)^2}\over{\left(1-x\right)^2}}+1}}-{{1}\over{x^2+1}}$$
[/mm]
Ich hab zuerst substituiert mit [mm] $t(x)=\bruch{1+x}{1-x}$ [/mm] und dann [mm] $t'(x)=\bruch{2}{(1-x)^2}$ [/mm] mit Hilfe der Quotientenregel gebildet. Dann die gesamte Funktion abgeleitet und bekomme das:
[mm] $f'(t)=\bruch{2}{(1-x)^2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1+t^2}-\bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
Dann t rücksubstituieren und auflösen. Aber da muss schon ein Fehler an dieser Stelle sein, weil wenn ich das ab hier in Maxima einsetzte nicht 0 heraus kommt. Da kann ich stundenlang auflösen. An welcher Stelle ist der Fehler?
> Für eine konstante Funktion [mm]f(x) \ = \ C[/mm] solltest Du dann
> erhalten [mm]f'(x) \ = \ 0[/mm].
Das ist natürlich ein wichtiger Hinweis. Aber wie kommt man darauf. Ich hab im "Papula" bei den Funktionseigenschaften nachgesehen, aber nix über konstante Funktionen gefunden. Wo könnte das stehen?
Gruß
Andreas
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> > [mm]f'(t)=\bruch{2}{(1-x)^2} * \bruch{1}{1+t^2}-\bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>
> >
> > Dann t rücksubstituieren und auflösen.
>
> ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Alles richtig bis hierher ...
Genau danach war mein Fehler. Ich hab dummerweise das abgeleite $t'(x)$ wieder rücksubstituiert. Aber ich hätte ja $t(x)$ nehmen sollen. Blöder Fehler war das.
> Bei mir funktioniert auch die Resubstitution.
>
> [mm]\bruch{2}{(1-x)^2} * \bruch{1}{1+t^2} - \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>
>
> [mm]= \ \bruch{2}{(1-x)^2} * \bruch{1}{1 + \left( \bruch{1+x}{1-x} \right)^2} - \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>
>
> [mm]= \ \bruch{2}{(1-x)^2} * \bruch{1}{1 + \bruch{(1+x)^2}{(1-x)^2}} - \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>
>
> [mm]= \ \bruch{2 * 1}{(1-x)^2 * \left[ 1 + \bruch{(1+x)^2}{(1-x)^2}\right]} - \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>
>
> [mm]= \ \bruch{2}{(1-x)^2 + (1+x)^2} - \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>
> [mm]= \ ...[/mm]
[mm] $=\bruch{2}{1+x^2-2x+1+x^2+2x}-\bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{2}{2x^2+2}-\bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{1+x^2}-\bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
$=0$ 
Hm, gerade wollte ich fragen warum eine Funktion konstant ist, wenn die erste Ableitung 0 ist. Aber da fiel es mir plötzlich ein, als ich mir nochmal den Funktionsverlauf angesehen habe. Die Funktion hat eine Steigung von 0. Und soweit ich mich entsinne ist die erste Ableitung ja die Steigung einer Funktion. Muss einem nur mal einfallen...
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Do 24.02.2005 | | Autor: | Marcel |
> Hm, gerade wollte ich fragen warum eine Funktion konstant
> ist, wenn die erste Ableitung 0 ist. Aber da fiel es mir
> plötzlich ein, als ich mir nochmal den Funktionsverlauf
> angesehen habe. Die Funktion hat eine Steigung von 0. Und
> soweit ich mich entsinne ist die erste Ableitung ja die
> Steigung einer Funktion. Muss einem nur mal einfallen...
Ja, das stimmt, ist aber kein Beweis . Behauptung:
Ist $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] diff'bar, so gilt:
[mm] $\exists [/mm] c [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $f\equiv [/mm] c$
[mm] $\gdw$ [/mm]
$f' [mm] \equiv [/mm] 0$.
Beweis:
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] klar.
"[m]\Leftarrow[/m]":
Seien [m]x_1,x_2 \in \IR[/m] und o.B.d.A. [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x_2$. [/mm] Dann gilt nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
[m]\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi)[/m] mit einem [mm] $\xi \in (x_1,x_2)$. [/mm]
Wegen [m]f'(\xi)=0[/m] (nach Voraussetzung ist ja $f' [mm] \equiv [/mm] 0$) folgt dann [m]\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=0[/m], also [mm] $f(x_1)=f(x_2)$.
[/mm]
Da [mm] $x_1,x_2 \in \IR$ [/mm] beliebig waren, folgt, dass $f [mm] \equiv [/mm] c$ gilt (mit einem festen [m]c \in \IR[/m]; es gilt dann etwa $c=f(0)$).
Viele Grüße,
Marcel
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intressant ist auch,
das [mm] $\tan [/mm] ( f(x) ) = 1$ konstant ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas nochmal ...
> b) Berechnen Sie C.
> Nun, die b) ist ja relativ einfach. Einfach ein [mm]x<1[/mm]
> einsetzen und man bekommt [mm]C=0.6986[/mm] heraus.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier habe ich etwas anderes raus!
Warum so kompliziert? Setze doch einfach mal [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ ein.
(Taschenrechner auf rad = Bogenmaß einstellen ...)
Zur Kontrolle (bitte nachrechnen): $C \ = \ [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] \ [mm] \approx\ [/mm] 0,785$
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Mi 23.02.2005 | | Autor: | andreas99 |
> Hallo Andreas nochmal ...
>
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> > b) Berechnen Sie C.
> > Nun, die b) ist ja relativ einfach. Einfach ein [mm]x<1[/mm]
> > einsetzen und man bekommt [mm]C=0.6986[/mm] heraus.
>
>
> Hier habe ich etwas anderes raus!
>
> Warum so kompliziert? Setze doch einfach mal [mm]x_0 \ = \ 0[/mm]
> ein.
> (Taschenrechner auf rad = Bogenmaß einstellen ...)
>
>
> Zur Kontrolle (bitte nachrechnen): [mm]C \ = \ \bruch{\pi}{4} \ \approx\ 0,785[/mm]
Uhuhuhui! Was hab ich den da verbockt? Muss wohl ein Fehler bei der Eingabe in den TR gewesen sein. Danke für den Hinweis!
Andreas
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Hallo zusammen nochmals
es ist doch wirklich sehr einfach wenn man
[mm] $\tan [/mm] (u-v) = [mm] \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u * \tan v}$
[/mm]
auf
$h = [mm] \tan [/mm] (f(x))$ anwendet. Dann gilt
[mm]h = \frac{(1+x)/(1-x) - x}{1 + x*(1+x)/(1-x)}=\frac{1+x-x+x²}{1-x+x+x²} = 1\text{ konstant }[/mm]
und wenn der [mm] $\tan [/mm] (f(x))$ konstant ist ist es auch f(x)
(* Edit: damit meinte ich nur für DIESE f(x)
siehe Marc's Mitteilung dazu und meine weitere
*)
und aus der 1 folgt auch gleich $f(x) = [mm] \arctan(1) [/mm] = [mm] \frac{\pi}{4}$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Do 24.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Friedrich,
gut, dass du deinen Artikel direkt mit "rot" markiert hast 
> es ist doch wirklich sehr einfach wenn man
> [mm]\tan (u-v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u * \tan v}[/mm]
>
> auf
> [mm]h = \tan (f(x))[/mm] anwendet. Dann gilt
> [mm]h = \frac{(1+x)/(1-x) - x}{1 + x*(1+x)/(1-x)}=\frac{1+x-x+x²}{1-x+x+x²} = 1\text{ konstant }[/mm]
>
> und wenn der [mm]\tan (f(x))[/mm] konstant ist ist es auch f(x)
So einfach ist es nun auch wieder ist.
Daraus folgt noch nicht die Konstanz von f(x), z.B. könnte doch gelten
[mm] $f(x)=\begin{cases} \pi, & \mbox{für } x\in\IQ \\ 2\pi, & \mbox{für } x\in\IR\setminus\IQ \end{cases}$
[/mm]
Hier ist f nicht konstant, obwohl [mm] $\tan(f(x))\equiv [/mm] 0$
Ausserdem wird deine Lösung noch wesentlich komplizierter, da man deine benutzte identität [mm]\tan (u-v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u * \tan v}[/mm] ja auch noch zeigen muss.
Viele Grüße,
Marc
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ok Marc,
erst zum 2ten:
auf diesem Niveau darf man doch wohl die Add.Theoreme der Trig.Funktionen
wohl voraussetzen - ohne die wären ja keine Ableitungen bestimmbar.
zum 1ten:
eine so allgemeine Aussage beabsichtigte ich natürlich nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Friedrich,
> erst zum 2ten:
> auf diesem Niveau darf man doch wohl die Add.Theoreme der
> Trig.Funktionen
> wohl voraussetzen - ohne die wären ja keine Ableitungen
> bestimmbar.
Okay, sehe ich ein, da hast du Recht.
> zum 1ten:
> eine so allgemeine Aussage beabsichtigte ich natürlich
> nicht.
Aber wie zeigst du es dann? Das fehlte mir nur, und ich wollte nicht, dass sich der Leser das als allgemeingültigen Aussage merkt.
Viele Grüße,
Marc
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Die Konstanz kann man auch ganz einfach zeigen, indem man einfach von der Funktion den Tangens nimmt und das entsprechende Additionstheorem für den Tangens anwendet. Die entsprechende Funktion ist dann konstant, und weil der Tangens injektiv ist (zumindest innerhalt einer Periode) ist auch die ursprüngliche Funktion konstant.
Grüße!
Hans
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Ja, Hans,
wie auch ich schon 2mal darauf hinwies
https://matheraum.de/read?i=47065
https://matheraum.de/read?i=47335
Gruß
F.
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
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![[meinemeinung]](/images/smileys/meinemeinung.gif "[meinemeinung]"){kind=small}
