Konstante Matrizen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:20 Fr 10.05.2013 | | Autor: | SabrinaM. |
Seien A, B [mm] \in Mat(nxn,\IR)konstante [/mm] Matrizen.Gegeben sei dir Differentialgleichung Ay´+By´=0.
a) Zeigen Sie dass die Menge V aller Lösungen (psi) der Differentialgleichungen einen [mm] \IR [/mm] -Vektorraum bildet
b) Was können sie über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen (bezüglich eines Anfangwertes [mm] y(x_{0})=y_{0}) [/mm] aussagen, falls A invertierbar ist?
c) was Können sie über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen (bezüglich eines Anfangswertes [mm] y(x_{0})=y_{0}) [/mm] aussagen, falls A nicht invertierbar?
Ich hab echt garkeine Ahnung wie ich die Aufgabe lösen :( köönt ihr mir vielleicht helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Seien A, B [mm]\in Mat(nxn,\IR)konstante[/mm] Matrizen.Gegeben sei
> dir Differentialgleichung Ay´+By´=0.
steht das wirklich so da? Oder steht da vielleicht [mm] $Ay\,'+By\,'\red{'}=0$?
[/mm]
(Oder $Ay+By'=0$?)
Und was ist hierbei [mm] $y\,$? [/mm] $y [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ mit [mm] $D=\,$? [/mm] und $Z=$? Guck' das
nach, oder mach' Dir das klar, was da [mm] $D\,$ [/mm] und [mm] $Z\,$ [/mm] sind (sein können)...
Außerdem muss [mm] $y\,$ [/mm] ...was?... erfüllen, dass man überhaupt [mm] $y\,''$ [/mm] da hinschreiben
kann? (Respektive "nur" [mm] $y\,'\,,$ [/mm] falls oben [mm] $Ay+By\,'=0$ [/mm] steht!)
> a) Zeigen Sie dass die Menge V aller Lösungen (psi) der
> Differentialgleichungen einen [mm]\IR[/mm] -Vektorraum bildet
Schlimmstenfalls alle Vektorraumaxiome nachrechnen (was wäre denn
"der Nullvektor"). Besser: Schauen, ob man einen [mm] $\IR$-Vektorraum $(V,\oplus,\odot)\,$ [/mm] kennt,
so dass [mm] $U:=\{\psi:\;\;\psi\text{ löst obige Matrix-Differentialgleichung}\}$ [/mm] schonmal $U [mm] \subseteq [/mm] V$ erfüllt. Dann
reicht es nämlich, für [mm] $U\,$ [/mm] Unterraumaxiome nachzurechnen...
P.S. Wie ist denn "die Summe [mm] $\psi_1\,\oplus\, \psi_2$" [/mm] definiert, wenn [mm] $\psi_1,\psi_2$ [/mm] Lösungen der
obigen Matrix-Differentialgleichung sind?
Gruß,
Marcel
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Das stimmt, da ist ein Fehler in der DGL. Die richtige lautet: Ay' +By =0
Wie wir denn die Existenz und Eindeutigkeit der Lsg'en gezeigt, falls A invertierbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Mo 13.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Das stimmt, da ist ein Fehler in der DGL. Die richtige
> lautet: Ay' +By =0
>
> Wie wir denn die Existenz und Eindeutigkeit der Lsg'en
> gezeigt, falls A invertierbar ist?
>
>
Wenn A inv. ist, so wird aus Ay' +By =0 das System
y'=Cy
mit [mm] C=-A^{-1}B.
[/mm]
Mit f(t,y):=Cy ist mit der euklidischen Norm [mm] ||*||_2 [/mm] und der zugeh. Operatornorm [mm] ||*||_{op}:
[/mm]
[mm] ||f(t,y)-f(t,z)||_2 \le ||C||_{op}*||y-z||_2
[/mm]
Jetzt Picard - Lindelöf.
FRED
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Ich habe leider einige Verständnisprobleme mit Picard-Lindelöf. Aber ich versuche es mal:
|f(t,y) - f(t,z)| = | C [mm] \* [/mm] (y-z) | = | (Cy) -(Cz) | = |C (yz)| = |C| |yz| = L [mm] \* [/mm] (yz)
Ich bin mir nicht sicher was mir das nun liefert und würde mich sehr über eine Hilfestellung freuen. Ist das soweit richtig?
Dankeschön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mo 13.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe leider einige Verständnisprobleme mit
> Picard-Lindelöf. Aber ich versuche es mal:
>
> |f(t,y) - f(t,z)| = | C [mm]\*[/mm] (y-z) | = | (Cy) -(Cz) |
Diesen Schritt hätte ich nicht gemacht !
> = |C (yz)| = |C| |yz| = L [mm]\*[/mm] (yz)
Hä ? Was machst Du da ? C(yz) ist ja völlig abenteuerlich !!!
>
> Ich bin mir nicht sicher was mir das nun liefert
Nichts, denn es ist völliger Unsinn !
> und würde
> mich sehr über eine Hilfestellung freuen.
Ich hab Dir doch oben schon alles vorgekaut ! Was ist Dir daran unklar ?
> Ist das soweit
> richtig?
nein.
FRED
>
> Dankeschön
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Sandra_161 |
Ich meinte natürlich ab dem "abenteuerlichen" |C (y-z)| .... Nicht yz.... Och Gott da hab ich ja einiges doppelt geschrieben dann. Entschuldige vielmals :-[ copy and paste war Schuld...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:41 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marius1432 |
Hey, ich stehe an dem selben Problem.
Ich bin mir unsicher ob es nun |C [mm] \* [/mm] (y-z)| oder |-A(^-1)B [mm] \* [/mm] (y-z)| sein muss. Wie geht es dann weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey, ich stehe an dem selben Problem.
>
> Ich bin mir unsicher ob es nun |C [mm]\*[/mm] (y-z)| oder |-A(^-1)B
> [mm]\*[/mm] (y-z)| sein muss. Wie geht es dann weiter?
steht alles hier! (Abgesehen davon war [mm] $C:=\,-\,A^{-1}B$ [/mm] - ist der Zeidruck so groß,
dass man nicht mal mehr Zeit hat, die Sachen vernünftig durchzulesen im
Bachelor-/Mastersystem?)
Gruß,
Marcel
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Ich studiere auf Staatsexamen, also machen ärgerliche Aussagen über das Bachelor-/ Mastersystem keinen Sinn. Ich finde es schade, dass solche Bemerkungen über diverse Studiengänge auftauchen müssen. Ich habe mich offenbar falsch ausgedrückt und es tut mir Leid. Es ist völlig klar, dass C als -A (^-1) B definiert ist. Meine Frage war rein formell, da ich nicht sicher war, ob es klar ist wenn ich es auf C reduziere oder nicht. Aber eigentlich ist auch dies selbsterklärend. Ich wollte lediglich wissen, ob es damit gezeigt wäre oder ob etwas fehlt. Man sollte sich nicht schämen müssen hier Fragen zu stellen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich studiere auf Staatsexamen, also machen ärgerliche
> Aussagen über das Bachelor-/ Mastersystem keinen Sinn. Ich
> finde es schade, dass solche Bemerkungen über diverse
> Studiengänge auftauchen müssen.
warum? Die Problematik existiert, und ich kritisiere das. Und das nicht
einfach so! Bei den aktuellen Studiengängen sieht man sehr deutlich,
dass die Umstellung im Wesentlichen drauf aus ist, die Leute schnell
und mit Druck durch's Studium zu prügeln, anstatt, dass sie sorgfältig
und auf Verständnis lernen. Ein Mathematikstudium so zu betreiben, dass man
von Klausur zur Klausur lernt und dann alles wieder vergisst, weil man
den Speicherplatz "braucht", ist allerdings alles andere als gut. Die Frage
meinte ich nicht abwertend, sondern wirklich kritisch, wenngleich sie auch
"bissig" war, gebe ich zu!
> Ich habe mich offenbar
> falsch ausgedrückt und es tut mir Leid. Es ist völlig
> klar, dass C als -A (^-1) B definiert ist. Meine Frage war
> rein formell, da ich nicht sicher war, ob es klar ist wenn
> ich es auf C reduziere oder nicht. Aber eigentlich ist auch
> dies selbsterklärend.
Eben!
> Ich wollte lediglich wissen, ob es
> damit gezeigt wäre
Was ist denn "es"?
> oder ob etwas fehlt. Man sollte sich
> nicht schämen müssen hier Fragen zu stellen...
Das ist nicht meine Absicht. Ich bin heute allerdings, und dafür entschuldige
ich mich bei Dir, denn da kannst Du nichts für, etwas gereizt, weil hier momentan
wirklich "laufend" sehr "merkwürdig anmutende Fragen" gestellt werden.
Ansonsten, wie gesagt: Fred hat den Weg zum Picard-Lindelöf geebnet...
Gruß,
Marcel
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Da hast du vollkommen Recht. Es ist in der Tat sehr unglücklich gestaltet und wir als Staataexamen-Studierende bekommen da auch einiges ab. Vielmehr ist dabei das Bildungsministerium zu kritisieren, die auf Biegen und Brechen so sein wollen wie andere Nationen. Schade, aber leider wahr! Früher hat doch auch alles funktioniert, die Menschen haben studiert und, wenn auch heute fortgeschrittener aufgrund der Technik, waren die Wissenschaftler genauso kompetent.
Wie auch immer.
Ich habe zu dem B-Teil folgende Ausführung, die mir aber nicht ganz vollständig scheint.
Also falls A invbar ist kann man aus der gegebenen Dgl das System y'=Cy mit C=-A(^-1)B darstellen. Wenn man nun f(t,y):= Cy setzt ergibt sich mit Picard-Lindelöf folgendes:
| C(y) - C(z) | = | (-A(^-1)B) (y-z) |
Die Linke Seite ist also nicht nur kleiner gleich sondern tatsächlich gleich oder?
Ist die Aufgabe b) damit gelöst? Und wie verändert sich das System für nicht invbares A? Ansonsten wäre es ja bestimmt analog oder? Ich meine also, dass man das System für nichtinvbare dann wieder mit Picard-Lindelöf betrachten muss, oder?
Tut mir leid wenn die Fragen total simpel klingen :-[ dieses Thema ist neu und fällt mir wirklich schwer..
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Erste FrGe hat sich geklärt. Ich hatte die Betragsstriche in der allgemeinen Form übersehen. Also steht am Ende einfach dort:
$|C (y-z)| [mm] \le [/mm] |C| [mm] \* [/mm] |y-z|$
Weiter frage ich mich was bei nicht invbarem A passiert?
Vielen Dank.
Gruß,
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 15.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Da hast du vollkommen Recht. Es ist in der Tat sehr
> unglücklich gestaltet und wir als Staataexamen-Studierende
> bekommen da auch einiges ab.
soweit ich das mitbekommen habe, war sogar schon zu Diplom-Zeiten
das Studium für Staatsexamen-Studierende ziemlich voll geladen.
> Vielmehr ist dabei das
> Bildungsministerium zu kritisieren, die auf Biegen und
> Brechen so sein wollen wie andere Nationen. Schade, aber
> leider wahr! Früher hat doch auch alles funktioniert, die
> Menschen haben studiert und, wenn auch heute
> fortgeschrittener aufgrund der Technik, waren die
> Wissenschaftler genauso kompetent.
Tja, so ist das Prinzip der Ursache und Wirkung halt.  Gut gewollt
ist halt nicht immer gut gemacht!
> Wie auch immer.
>
> Ich habe zu dem B-Teil folgende Ausführung, die mir aber
> nicht ganz vollständig scheint.
>
> Also falls A invbar ist kann man aus der gegebenen Dgl das
> System y'=Cy mit C=-A(^-1)B darstellen. Wenn man nun
> f(t,y):= Cy setzt ergibt sich mit Picard-Lindelöf
> folgendes:
>
> | C(y) - C(z) | = | (-A(^-1)B) (y-z) |
>
> Die Linke Seite ist also nicht nur kleiner gleich sondern
> tatsächlich gleich oder?
Klar, Du nutzt hier nur Linearität aus und die Definition von [mm] $C\,$:
[/mm]
[mm] $$|C(y)-C(z)|=|C(y-z)|=|(-A^{-1}B)(y-z)|$$
[/mm]
> Ist die Aufgabe b) damit gelöst?
Das hast Du ja mittlerweile anscheinend erkannt. Nur mal so nebenbei:
Schaut Euch unbedingt an, wie die Operatornorm definiert ist und warum
Freds Abschätzung gilt.
![[]](/images/popup.gif) Satz 19.11
Und such auch mal in dem Skript nach Picard-Lindelöf (Satz 23.8)...
> Und wie verändert sich
> das System für nicht invbares A? Ansonsten wäre es ja
> bestimmt analog oder? Ich meine also, dass man das System
> für nichtinvbare dann wieder mit Picard-Lindelöf
> betrachten muss, oder?
Für nicht inv'bares [mm] $A\,$ [/mm] kannst Du doch [mm] $A^{-1}$ [/mm] noch nicht mal hinschreiben.
Wenn man gar keine Idee hat, helfen oft einfache Beispiele, um ein Gefühl
dafür zu bekommen, was dann sein könnte.
> Tut mir leid wenn die Fragen total simpel klingen :-[
> dieses Thema ist neu und fällt mir wirklich schwer..
Es ging' mir nicht drum, dass es hier keine Schwierigkeiten geben darf, jeder
hat da so seine eigenen Stärken und Schwächen. Ich bin auch nicht
besonders gut, was DGLn betrifft. Aber mal ein anderes Beispiel, was halt
nicht passieren sollte (das hat nichts mit dem Thema oder Thread hier zu
tun!):
Jemand schrieb: "...aus Teil (a) folgt sofort, dass [mm] $f\,$ [/mm] unstetig in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] ist..."
Und darauf fragt jemand: "Was wurde da nun gezeigt? Ist [mm] $f\,$ [/mm] jetzt stetig
in [mm] $(0,0)\,$?"
[/mm]
Sowas wirkt schon fast 'provokant' - aber es zeigt in Wahrheit nur, dass
da jemand noch nicht mal richtig liest...
Gruß,
Marcel
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Oh Mann du hast Recht... A^-1 kann man ja dann gar nicht verwenden...logisch wenn nicht invbar :D :D aber was heißt das dann für Existenz und Eindeutigkeit? Sorry aber da hab ich echt keine Idee...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 15.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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