Konstanten und Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Mo 19.12.2011 | | Autor: | pWnEd |
| Aufgabe | 1. [mm] f : \IR\to\IR [/mm] sei eine Funktion, gegeben durch die Vorschrift
[mm] f(x)=\begin{cases} 30-\bruch{20}{1+x^{2}, & \mbox{für } x\le3 \\ ax+b, & \mbox{für } x>3 \end{cases} [/mm]
wobei die Konstanten [mm]a; b\in\IR[/mm] beliebig sind.
(a) Welche Bedingung müssen die Konstanten a und b erfüllen, damit die Funktion
f stetig auf R ist?
(b) Welche Bedingungen müssen die Konstanten a und b erfüllen, damit die stetige
Funktion zusätzlich die Beziehung f(4) = 30 erfüllt?
(c) Gibt es Konstanten a,b aus R, so dass die Funktion f differenzierbar ist? (mit
Begründung) |
Hallo,
bin neu hier und komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
Was stetigkeit bedeutet und wie es definiert ist weiß ich halbswegs. Wie ich jetzt allerdings mit dieser Definition die Aufgaben lösen soll weiß ich beim besten willen nicht.
Ich weiß das eine Funktion stetig ist wenn gilt [mm]\limes_{x\rightarrow\\x_{0}} f(x) = f(x_{0}) [/mm].
Wie ich damit allerdings auf die beiden konstanten a und b kommen soll ist mir ein rätsel.
Ich hoffe ihr habt ein paar vorschläge wie ich auf die Lösung kommen kann.
Danke schonmal im Vorraus!
MFG
Max
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> 1. [mm]f : \IR\to\IR[/mm] sei eine Funktion, gegeben durch die
> Vorschrift
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 30-\bruch{20}{1+x^{2}, & \mbox{für } x\le3 \\ ax+b, & \mbox{für } x>3 \end{cases}[/mm]
>
> wobei die Konstanten [mm]a; b\in\IR[/mm] beliebig sind.
>
> (a) Welche Bedingung müssen die Konstanten a und b
> erfüllen, damit die Funktion
> f stetig auf R ist?
>
> (b) Welche Bedingungen müssen die Konstanten a und b
> erfüllen, damit die stetige
> Funktion zusätzlich die Beziehung f(4) = 30 erfüllt?
>
> (c) Gibt es Konstanten a,b aus R, so dass die Funktion f
> differenzierbar ist? (mit
> Begründung)
> Hallo,
> bin neu hier und komme bei dieser Aufgabe einfach nicht
> weiter.
>
> Was stetigkeit bedeutet und wie es definiert ist weiß ich
> halbswegs. Wie ich jetzt allerdings mit dieser Definition
> die Aufgaben lösen soll weiß ich beim besten willen
> nicht.
>
> Ich weiß das eine Funktion stetig ist wenn gilt
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\x_{0}} f(x) = f(x_{0}) [/mm].
> Wie ich
> damit allerdings auf die beiden konstanten a und b kommen
> soll ist mir ein rätsel.
>
> Ich hoffe ihr habt ein paar vorschläge wie ich auf die
> Lösung kommen kann.
1. f ist in jedem Punkt x [mm] \ne [/mm] 3 stetig.
2. f ist auf [mm] \IR [/mm] stetig [mm] \gdw [/mm] f ist in [mm] x_0=3 [/mm] stetig [mm] \gdw [/mm]
(*) [mm]\limes_{x\rightarrow 3+0} f(x) = f(3)=\limes_{x\rightarrow 3-0} f(x) [/mm].
Aus (*) bekommst Du eine Beziehung zwischen a und b.
FRED
>
> Danke schonmal im Vorraus!
>
> MFG
>
> Max
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mo 19.12.2011 | | Autor: | pWnEd |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort fred, allerdings muss ich leider sagen das ich aus deiner Antwort nicht wirklich schlauer geworden bin. Habe mich trotz alledem weiter mit der Aufgabe beschäftigt und glaube zumindest für Aufgabenteil 1 eine Lösung gefunden zu haben.
Wenn ich mir nun die Funktion in Geogebra anschaue (also die 30-20/1+x²) und im Hinterkopf behalte das die eine Funktion stetig im punkt [mm] x_{0} [/mm] ist wenn der limes x gegen [mm] x_{0} [/mm] gleich dem Funktionswert von [mm] x_{0} [/mm] ist, dann muss ich doch für a die steigung der Tangente der ersten Fkt im Punkt 3 wählen.
Desweiteren muss doch b so gewählt werden das ax+b für (x=3) = 30/(1+3²) sein muss. Ich hoffe meine Idee ist soweit richtig.
Meine Ergebnisse sind a = 1,2 und b = 24,2
Vlt könnte ja jemand mal drüber schaun und mir sagen ob ich halbwegs richtig mit meiner Vermutung liege ^^.
Ich habe meine Ergebnisse mal mit Geogebra angesehen, schaut auch soweit ganz gut aus, hoffe mein Gedanke ist wenigstens nicht grundverkehrt.
Aufgabenteil 2 ist wiederrum knifflig, da ich zwar jetzt eine stetige Funktion habe aber jetzt die Konstanten so wählen muss damit f(4) = 40 ergibt.
Danke!!
Gruß
Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke für die schnelle Antwort fred, allerdings muss ich
> leider sagen das ich aus deiner Antwort nicht wirklich
> schlauer geworden bin. Habe mich trotz alledem weiter mit
> der Aufgabe beschäftigt und glaube zumindest für
> Aufgabenteil 1 eine Lösung gefunden zu haben.
>
> Wenn ich mir nun die Funktion in Geogebra anschaue (also
> die 30-20/1+x²) und im Hinterkopf behalte das die eine
> Funktion stetig im punkt [mm]x_{0}[/mm] ist wenn der limes x gegen
> [mm]x_{0}[/mm] gleich dem Funktionswert von [mm]x_{0}[/mm] ist,
> dann muss ich
> doch für a die steigung der Tangente der ersten Fkt im
> Punkt 3 wählen.
?????
Wir sind immer noch bei Teil (a) ! Dann ist mir nicht klar, wie Du auf obiges kommst.
Es muß gelten:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 3+0} [/mm] f(x) = [mm] f(3)=\limes_{x\rightarrow 3-0} [/mm] f(x) $.
Es ist [mm] f(3)=\limes_{x\rightarrow 3-0} [/mm] f(x) [mm] =30-\bruch{20}{1+3^2}=28
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow 3+0} [/mm] f(x) =3a+b
Also: f ist in [mm] x_0=3 [/mm] stetig [mm] \gdw [/mm] 3a+b=28.
> Desweiteren muss doch b so gewählt werden das ax+b für
> (x=3) = 30/(1+3²) sein muss. Ich hoffe meine Idee ist
> soweit richtig.
>
> Meine Ergebnisse sind a = 1,2 und b = 24,2
Wie kommst Du darauf ?
>
> Vlt könnte ja jemand mal drüber schaun und mir sagen ob
> ich halbwegs richtig mit meiner Vermutung liege ^^.
>
> Ich habe meine Ergebnisse mal mit Geogebra angesehen,
> schaut auch soweit ganz gut aus, hoffe mein Gedanke ist
> wenigstens nicht grundverkehrt.
>
> Aufgabenteil 2 ist wiederrum knifflig, da ich zwar jetzt
> eine stetige Funktion habe aber jetzt die Konstanten so
> wählen muss damit f(4) = 40 ergibt.
Es muß gelten:
3a+b=28 und 4a+b=30
FRED
>
> Danke!!
> Gruß
> Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mo 19.12.2011 | | Autor: | pWnEd |
Hallo Fred,
danke für deine schnelle Antwort, jetzt habe ich auch begriffen was du mit [mm]\limes_{x\rightarrow 3+0} f(x) = f(3)=\limes_{x\rightarrow 3-0} f(x) [/mm] meinst.
Ich glaub mir ist grad ein Licht aufgegangen ^^, was mir nur ein wenig komisch vorkommt, das ich gar keine Werte berechnen/bestimmen muss. Vorallem weil wir letzte Woche in der Mathe Übung genau so vorgegangen sind um die konstanten zu berechnen.
Meine Idee war halt das 3a+b = 28 mit a = der Steigung der Tagente der Funktion f(x) = [mm]30-\bruch{20}{1+x^{2}}[/mm] im Punkt x=3 ist.
Aber wie du schon sagtest komme ich damit natürlich nicht auf 4a+b = 40.
Danke nochmal!
Gruß
Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mo 19.12.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wieso meinst Du das Du keine Werte berechnen musst?
Die Gleichungen sind doch
Aufgabe (a)
(1) [mm] 30-\bruch{2}{3}=3a+b
[/mm]
Aufgabe (b)
(2) 4a+b=30 und Gleichung (1)
Bei Aufgabe (a) bekommst Du unendliche viele Lösungen. Mit Aufgabe (b) hast Du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Aufgabe (c)
Die Ableitungen bilden und wieder für den Punkt x=3 gleichsetzen.
Wahrscheinlich kannst Du aber nicht alle drei Bedingungen gleichzeitig erfüllen, da Du ja nur zwei Unbekannte hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mo 19.12.2011 | | Autor: | pWnEd |
Hallo,
danke für Antwort, ja natürlich, ich glaub ich hab die Sache mit der stetigkeit vorher nicht ganz so richtig verstanden, komme der Sache aber glaube ich immer näher :).
Also müsste es für Aufgabenteil 1 heißen:
[mm]30-\bruch{2}{3}=3a+b [/mm] für alle a;b [mm]\in\IR[/mm], da wie schon erwähnt unendlich viele Lösungen möglich sind, solang doch daraus folgt das die Funktion stetig ist.
Bei Aufgabenteil 2 bin ich jetzt bei:
3a+b =28
4a+b =30
Dieses LGS gelöst: a = 2 und b = 22
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe erfüllt die Funktion mit diesen Werten nun die zwei Bedingungen und somit auch das sie stetig sein muss, richtig?
Zu 3 bin ich noch ein wenig ratlos, wie ist das mit Ableitung bilden und gelichsetzten gemeint?
Danke!
Gruß
Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke für Antwort, ja natürlich, ich glaub ich hab die
> Sache mit der stetigkeit vorher nicht ganz so richtig
> verstanden, komme der Sache aber glaube ich immer näher
> :).
>
> Also müsste es für Aufgabenteil 1 heißen:
>
> [mm]30-\bruch{2}{3}=3a+b[/mm] für alle a;b [mm]\in\IR[/mm], da wie schon
> erwähnt unendlich viele Lösungen möglich sind, solang
> doch daraus folgt das die Funktion stetig ist.
>
> Bei Aufgabenteil 2 bin ich jetzt bei:
>
> 3a+b =28
> 4a+b =30
>
> Dieses LGS gelöst: a = 2 und b = 22
>
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe erfüllt die
> Funktion mit diesen Werten nun die zwei Bedingungen und
> somit auch das sie stetig sein muss, richtig?
Ja
>
> Zu 3 bin ich noch ein wenig ratlos, wie ist das mit
> Ableitung bilden und gelichsetzten gemeint?
Wir haben: 3a+b=28
Eine weitere Gl. erhältst Du aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow 3+0}f'(x)= \limes_{x\rightarrow 3-0}f'(x)
[/mm]
FRED
>
> Danke!
>
> Gruß
> Max
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 19.12.2011 | | Autor: | pWnEd |
Hallo,
also wenn ich deine Anregung richtig verstehe dann muss die erste Ableitung von [mm]\limes_{x\rightarrow3-0}30-\bruch{20}{(1+x^{2})}[/mm] gleich der Ableitung von [mm]\limes_{x\rightarrow\3-0}3a+b=28[/mm] sein.
Also ein bisschen vereinfacht gesprochen "Die Steigung im Punkt 3 muss bei beiden Termen der Funktion gleich sein" und für diese Bedingung muss ich nun a und b ausrechnen.
So wenn ich nun ax+b ableite fallen x und b weg und es bleibt nur noch a übrig, somit muss a = 1,2 sein (da [mm]\limes_{x\rightarrow 3+0}f'(x) =\bruch{40x}{(1+x^{2})^{2}} =1.2 [/mm]) damit kann ich nun b berechnen. b müsste in meinem Fall also 24.4 sein.
Somit habe ich gezeigt das es ein a;b gibt welches im punkt x=3 differenzierbar ist und gleich der Steigung des anderen Terms ist.
Und da die Funktion in Punkt x differenzierbar ist folgt daraus das sie auch stetig ist, richtig?
Danke!!
Gruß
Max
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Di 20.12.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hallo,
> also wenn ich deine Anregung richtig verstehe dann muss
> die erste Ableitung von
> [mm]\limes_{x\rightarrow3-0}30-\bruch{20}{(1+x^{2})}[/mm] gleich der
> Ableitung von [mm]\limes_{x\rightarrow\3-0}3a+b=28[/mm] sein.
>
Wenn Du den Grenzwert zuerst bildest dann kommt eine Zahl heraus, also eine Konstante. Wenn Du die ableitetst ergibt das 0. Also zuerst die Ableitung bilden und dann den Grenzwert. Das a3a+b=28 falsch ist habe ich ja schon geschrieben.
> Also ein bisschen vereinfacht gesprochen "Die Steigung im
> Punkt 3 muss bei beiden Termen der Funktion gleich sein"
> und für diese Bedingung muss ich nun a und b ausrechnen.
>
> So wenn ich nun ax+b ableite fallen x und b weg und es
> bleibt nur noch a übrig, somit muss a = 1,2 sein (da
> [mm]\limes_{x\rightarrow 3+0}f'(x) =\bruch{40x}{(1+x^{2})^{2}} =1.2 [/mm])
> damit kann ich nun b berechnen. b müsste in meinem Fall
> also 24.4 sein.
>
> Somit habe ich gezeigt das es ein a;b gibt welches im punkt
> x=3 differenzierbar ist und gleich der Steigung des anderen
> Terms ist.
>
> Und da die Funktion in Punkt x differenzierbar ist folgt
> daraus das sie auch stetig ist, richtig?
>
> Danke!!
> Gruß
> Max
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Di 20.12.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
mal eine Frage, wie kommst Du von
> [mm] 30-\bruch{2}{3}=3a+b
[/mm]
auf
> 3a+b =28
Ich komme da auf [mm] \bruch{88}{3}=3a+b [/mm] und [mm] \bruch{88}{3}\ne [/mm] 28
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