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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Konstantenvariation
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Konstantenvariation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 So 23.11.2008
Autor: marko1612

Aufgabe
Lösen Sie die inhomogene lineare Differenzialgleichung y" -2y'+y = [mm] \bruch{e^{t}}{t} [/mm] mittels Konstantenvariation und führen Sie die Probe aus.

Meine Lösung bisher:

y"-2y'+y=0   [mm] \to \lambda²-2\lambda+1=0 [/mm]

[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 1

[mm] y^{h}(t) [/mm] = [mm] C_{1}e^{t}+C_{2}e^{t} [/mm]

-------------------------------------------------------------------------------

y" -2y'+y = [mm] \bruch{e^{t}}{t} [/mm]

[mm] y_{1}(t) [/mm] = [mm] e^{t} [/mm]
[mm] y_{2}(t) [/mm] = [mm] e^{t} [/mm]


[mm] y^{inh}(t) [/mm] = [mm] C_{1}(t)e^{t}+C_{2}(t)e^{t} [/mm]



Bin nicht sicher ob soweit alles richtig ist und wie es weiter geht.

        
Bezug
Konstantenvariation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 So 23.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo marko1612,

> Lösen Sie die inhomogene lineare Differenzialgleichung y"
> -2y'+y = [mm]\bruch{e^{t}}{t}[/mm] mittels Konstantenvariation und
> führen Sie die Probe aus.
>  Meine Lösung bisher:
>  
> y"-2y'+y=0   [mm]\to \lambda²-2\lambda+1=0[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 1 [ok]
>  
> [mm]y^{h}(t)[/mm] = [mm]C_{1}e^{t}+C_{2}e^{t}[/mm] [notok]

Achtung, es ist ja [mm] $\lambda=1$ [/mm] doppelte NST, das musst du bei der Basislösung berücksichtigen:

[mm] $y_h(t)=C_1e^t+C_2\red{\cdot{}t\cdot{}}e^{t}$ [/mm]


Damit dann nochmal die VdK ...

>  
> -------------------------------------------------------------------------------
>  
> y" -2y'+y = [mm]\bruch{e^{t}}{t}[/mm]
>  
> [mm]y_{1}(t)[/mm] = [mm]e^{t}[/mm]
>  [mm]y_{2}(t)[/mm] = [mm]e^{t}[/mm]
>  
>
> [mm]y^{inh}(t)[/mm] = [mm]C_{1}(t)e^{t}+C_{2}(t)e^{t}[/mm]
>  
>
>
> Bin nicht sicher ob soweit alles richtig ist und wie es
> weiter geht.

Es fehlt das t, dann 2mal ableiten, einsetzen und vgl. mit der Ausgangs-Dgl.


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Konstantenvariation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 So 23.11.2008
Autor: marko1612

Danke erstmal, aber wie funktioniert das mit der VdK genau. Unsere Professorin war leider nicht in der Lage das so zu erklären das man es versteht.

Bezug
                        
Bezug
Konstantenvariation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 So 23.11.2008
Autor: MathePower

Hallo marko1612,

> Danke erstmal, aber wie funktioniert das mit der VdK genau.
> Unsere Professorin war leider nicht in der Lage das so zu
> erklären das man es versteht.

Der Ansatz lautet dann:

[mm]\left(1\right) \ y\left(t\right)=C_{1}\left(t\right)*e^{t}+C_{2}\left(t\right)*t*e^{t}[/mm]

Dann bildet man [mm]y'\left(t\right), \ y''\left(t\right)[/mm] unter der Zusatzbedingung

[mm] \left(2\right) \ C_{1}'\left(t\right)*e^{t}+C_{2}'\left(t\right)*t*e^{t}=0[/mm]

Demnach

[mm]y'\left(t\right)=C_{1}'*e^{t}+C_{1}*e^{t}+C_{2}'*t*e^{t}+C_{2}*\left(t+1\right)*e^{t}[/mm]

[mm]\Rightarrow \left(3\right) \ y'\left(t\right)=C_{1}*e^{t}+C_{2}*\left(t+1\right)*e^{t}[/mm]

Mit der selben Bedingung folgt:

[mm]\left(4\right) \ y''\left(t\right)=C_{2}'*e^{t}+C_{1}*e^{t}+C_{2}*\left(t+2\right)*e^{t}[/mm]

(1), (3) und (4) werden jetzt in die DGL eingesetzt,
dann bekommst Du eine Gleichung in [mm]C_{1}', \ C_{2}'[/mm].

Zusammen mit der Bedingung (2) lassen sich hieraus [mm]C_{1}', \ C_{2}'[/mm] bestimmen.

Hieraus folgen dann [mm]C_{1}\left(t\right), \ C_{2}\left(t\right)[/mm]

Und somit die Lösung der DGL 2. Ordnung.


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Konstantenvariation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 Mo 24.11.2008
Autor: marko1612

Kann es sein das bei irgendeiner Gleichung das [mm] C_{1}' [/mm] fehlt?
Wenn ich das einsetze kann ich maximal ein [mm] C_{2}' [/mm] berechnen.

Bezug
                                        
Bezug
Konstantenvariation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Mo 24.11.2008
Autor: MathePower

Hallo marko1612,

> Kann es sein das bei irgendeiner Gleichung das [mm]C_{1}'[/mm]
> fehlt?

Nein, das ist alles richtig.


>  Wenn ich das einsetze kann ich maximal ein [mm]C_{2}'[/mm]
> berechnen.


Um [mm]C_{1}' [/mm] zu berechnen, hast Du ja noch die Zusatzbedingung:

[mm]C_{1}'*e^{t}+C_{2}'*t*e^{t}=0[/mm]


Gruß
MathePower

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