Konstanz zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:10 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | Sei [mm] \emptyset \not= [/mm] I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall und f : I [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion mit [mm]|f(x) - f(y)| \le c|x - y|^{2} [/mm]
für ein c > 0 und alle x, y [mm] \in [/mm] I. Zeigen Sie, dass f konstant ist.
(Hinweis: Unterteilen Sie das Intervall mit den Endpunkten x und y äquidistant) |
So, meine Idee bei dieser Aufgabe wäre eigentlich gewesen, dass ich die Funktionen versucht hätte abzuleiten und dann zu schauen ob sie 0 werden. Dann müsste ich ja nur noch schauen ob es andersrum auch klappt.
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Hiho,
> So, meine Idee bei dieser Aufgabe wäre eigentlich gewesen, dass ich die Funktionen versucht hätte abzuleiten
wer sagt dir, dass die Funktion überhaupt differenzierbar ist?
Zeige, dass sie es ist und du bist fertig!
Wann ist eine Funktion denn differenzierbar?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Qight |
Danke schonmal für die schnelle Antwort. Also eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie in jeder Stelle ihre Definitionsmenge differenzierbar ist. Und um die Stellen zu testen, ob sie nun differenzierbar sind, überprüft man ob der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert (an der bestimmten Stelle). Da als Tipp vorgegeben wurde, dass man das Intervall unterteilen soll, muss ich also schauen ob die Differenzierbarkeit für das Intervall von x und y gilt. Habe ich das richtig verstanden?
Und wenn dann die Funktion differenzierbar ist, muss ich doch noch schauen ob die Ableitung 0 ergibt, oder erschließt sich das denn direkt daraus? Wenn ja warum, dahinter komme ich noch nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mo 16.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal für die schnelle Antwort. Also eine
> Funktion ist differenzierbar, wenn sie in jeder Stelle ihre
> Definitionsmenge differenzierbar ist. Und um die Stellen zu
> testen, ob sie nun differenzierbar sind, überprüft man ob
> der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert (an der
> bestimmten Stelle).
Ja.
> Da als Tipp vorgegeben wurde, dass man
> das Intervall unterteilen soll,
Wozu dieser Hinweis gut sein soll, ist mir nicht klar.
> muss ich also schauen ob
> die Differenzierbarkeit für das Intervall von x und y
> gilt. Habe ich das richtig verstanden?
Nein : zeige , dass f auf I differenzierbar ist.
> Und wenn dann die Funktion differenzierbar ist, muss ich
> doch noch schauen ob die Ableitung 0 ergibt, oder
> erschließt sich das denn direkt daraus? Wenn ja warum,
> dahinter komme ich noch nicht.
Sei [mm] x_0 \in [/mm] I. Für x [mm] \in [/mm] I mit x [mm] \ne x_0 [/mm] ist
[mm] |\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}| \le c|x-x_0|.
[/mm]
Damit ist [mm] \limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= [/mm] ????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Qight |
OKay, ich bin gerade etwas verwirrt.
[mm] \limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= [/mm] 0
Also ist
[mm] \limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= [/mm] 0 [mm] \le \limes_{x\rightarrow\x_0} c|x-x_0| [/mm] = 0.
Nur warum würde dann in der Aufgabe explizit auf die Intervalle eingegangen sein? Wäre hier vielleicht sogar ein Widerspruchsbeweis sinnvoll, sprich zeigen, dass die Funktion eventuell nicht konstant ist?
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Hiho,
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=[/mm] 0
das willst du doch gerade zeigen!
>
> Also ist
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=[/mm] 0 [mm]\le \limes_{x\rightarrow\x_0} c|x-x_0|[/mm]
> = 0.
Auch hier: Blödsinn! Du willst doch gerade zeigen, dass da für den Grenzwert Null rauskommt, da kannst du doch nicht einfach schreiben, dass der Null ist!
Schreibe nochmal sauber auf: Warum folgt aus:
[mm] $\bruch{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|} \le [/mm] c*|x - [mm] x_0|$
[/mm]
dass
[mm] $\lim_{x\to\x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] = 0$
> Nur warum würde dann in der Aufgabe explizit auf die Intervalle eingegangen sein?
Weil der Aufgabensteller keine Ahnung hat?
Der Hinweis macht zumindest keinen Sinn.
> Wäre hier vielleicht sogar ein Widerspruchsbeweis sinnvoll
nein.
Es geht hier in zwei Schritten direkt zu zeigen, da hilft auch kein Widerspruchsbeweis.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Qight |
Gut, nur damit ich es auch verstanden habe. Ich soll aus $ [mm] \bruch{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|} \le c\cdot{}|x [/mm] - [mm] x_0| [/mm] $ zeigen, dass daraus folgt:
[mm] \lim_{x\to\ x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] = 0
Dann will ich mich mal daran versuchen.
[mm] \bruch{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|} \le c\cdot{}|x - x_0| \gdw |f(x) - f(x_0)| \le c|x - x_0|^{2} [/mm]
Damit wäre die kritsche Stelle [mm] |x-x_0| [/mm] schon mal aus dem Nenner weg und wegen des Betrags ändert sich auch nichts an der Ungleichung.
Also:
[mm] |f(x) - f(x_0)| \le c(x-x_0)^{2} [/mm]
Da ich hier keine Aussicht in die richtige Richtung sehe nehme ich mal stark an, dass ich gerade absoluten Mist mache.
Nur damit ich mal selbst meine Gedanken ordnen kann versuche ich mal durchzugehen wie ich auf eine Lösung kommen kann. Ich soll aus dieser Ungleichung zeigen, dass der Differenzenquotient so gilt, dass der Grenzwert 0 ergibt (bzw eine Konstante). Auffällig ist die Ähnlichkeit der Terme, dass ich wahrscheinlich ausnutzen muss. Vielleicht sollte ich den Betrag ja auch einfach getrennt aufschreiben und daraus die Bedingung herausfinden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mo 16.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gut, nur damit ich es auch verstanden habe. Ich soll aus
> [mm]\bruch{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|} \le c\cdot{}|x - x_0|[/mm]
> zeigen, dass daraus folgt:
>
> [mm]\lim_{x\to\ x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] = 0
>
> Dann will ich mich mal daran versuchen.
> [mm]\bruch{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|} \le c\cdot{}|x - x_0| \gdw |f(x) - f(x_0)| \le c|x - x_0|^{2}[/mm]
>
> Damit wäre die kritsche Stelle [mm]|x-x_0|[/mm] schon mal aus dem
> Nenner weg und wegen des Betrags ändert sich auch nichts
> an der Ungleichung.
> Also:
> [mm]|f(x) - f(x_0)| \le c(x-x_0)^{2}[/mm]
> Da ich hier keine Aussicht in die richtige Richtung sehe
> nehme ich mal stark an, dass ich gerade absoluten Mist
> mache.
> Nur damit ich mal selbst meine Gedanken ordnen kann
> versuche ich mal durchzugehen wie ich auf eine Lösung
> kommen kann. Ich soll aus dieser Ungleichung zeigen, dass
> der Differenzenquotient so gilt, dass der Grenzwert 0
> ergibt (bzw eine Konstante). Auffällig ist die
> Ähnlichkeit der Terme, dass ich wahrscheinlich ausnutzen
> muss. Vielleicht sollte ich den Betrag ja auch einfach
> getrennt aufschreiben und daraus die Bedingung
> herausfinden.
>
Aus $ [mm] \bruch{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|} \le c\cdot{}|x [/mm] - [mm] x_0| [/mm] $ folgt doch
[mm] \bruch{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|} \to [/mm] 0 für x [mm] \to x_0,
[/mm]
und damit
[mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \to [/mm] 0 für x [mm] \to x_0
[/mm]
Damit ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar und [mm] f'(x_0)= [/mm] ???
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Qight |
Ja, wenn ich das so zeige, dann ist [mm] f'(x_0) [/mm] = 0 , da der Differentialquotient ebenfalls bzw. aufgrund davon null ist. (die Steigung ist null) und daraus folgt, dass es sich um eine konstante Funktion handelt. Stimmt das argumentativ so?
Sprich:
[mm] \bruch{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|} \le c\cdot{}|x [/mm] - [mm] x_0| [/mm]
also,
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{|f(x) - f(x_0)|}{|x - x_0|} \to [/mm] 0
und damit
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \to [/mm] 0
sprich, die Funktion ist in [mm] x_o [/mm] differnzierbar, und da der Grenzwert des Differenzenquotienten 0 ist, so ist der Differentialquotient ebenfalls 0 also
[mm] f'(x_0) [/mm] = 0
Und daraus folgt, dass die Funktion konstant ist. Soweit habe ich das hoffentlich richtig von euch verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mo 16.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, wenn ich das so zeige, dann ist [mm]f'(x_0)[/mm] = 0 , da der
> Differentialquotient ebenfalls bzw. aufgrund davon null
> ist. (die Steigung ist null) und daraus folgt, dass es sich
> um eine konstante Funktion handelt. Stimmt das argumentativ
> so?
> Sprich:
>
> [mm]\bruch{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|} \le c\cdot{}|x[/mm] - [mm]x_0|[/mm]
>
> also,
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{|f(x) - f(x_0)|}{|x - x_0|} \to[/mm]
> 0
> und damit
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \to[/mm]
> 0
>
> sprich, die Funktion ist in [mm]x_o[/mm] differnzierbar, und da der
> Grenzwert des Differenzenquotienten 0 ist, so ist der
> Differentialquotient ebenfalls 0 also
> [mm]f'(x_0)[/mm] = 0
Ja
> Und daraus folgt, dass die Funktion konstant ist. Soweit
> habe ich das hoffentlich richtig von euch verstanden.
Ja
FRED
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Auch der Ansatz mit der äquidistanten Intervallteilung funktioniert.
Seien also [mm]x,y \in I[/mm] mit [mm]x
[mm]\delta_n = \frac{y-x}{n}[/mm]
Die Teilungspunkte sind die
[mm]\xi_k = x + k \cdot \delta_n \, , \ 0 \leq k \leq n[/mm]
mit [mm]\xi_0 = x[/mm] und [mm]\xi_n = y[/mm].
Und jetzt folgt der Standardtrick mit dem Einfügen von Zwischengliedern und der Dreiecksungleichung. Und zu guter Letzt dann die Voraussetzung über [mm]f[/mm]
[mm]\left| f(x) - f(y) \right| = \left| \left( f(\xi_0) - f(\xi_1) \right) + \left( f(\xi_1) - f(\xi_2) \right) + \ldots + \left( f(\xi_{n-1}) - f(\xi_n) \right) \right|[/mm]
[mm]\leq \left| f(\xi_0) - f(\xi_1) \right| + \left| f(\xi_1) - f(\xi_2) \right| + \ldots + \left| f(\xi_{n-1}) - f(\xi_n) \right|[/mm]
[mm]\leq c \cdot \left| \xi_0 - \xi_1 \right|^2 + c \cdot \left| \xi_1 - \xi_2 \right|^2 + \ldots + \left| \xi_{n-1} - \xi_n \right|^2[/mm]
[mm]= c \cdot n \cdot {\delta_n}^2 = c \cdot n \cdot \frac{(y-x)^2}{n^2} = c \cdot \frac{(y-x)^2}{n}[/mm]
Und da der letzte Ausdruck für [mm]n \to \infty[/mm] gegen 0 strebt, folgt:
[mm]\left| f(x) - f(y) \right| = 0[/mm]
also [mm]f(x) = f(y)[/mm].
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