Konstruierbarkeit 5,15 Eck < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Konstruierbarkeit eines Fünf, bzw. 15-Ecks |
Beweisen habe ich bereits, dass wenn a mit Zirkel und Linear konstruierbar ist, dann gilt für den Grad des Minimalpolynoms = [mm] 2^r, e\in\IN [/mm] passend.
Nun, beim Fünfeck, ist doch [mm] p(x)=x^5-1=(x-1)(1+x+x^2+x^3+x^4)
[/mm]
und beim 15-Eck [mm] x^{15}-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
[/mm]
Im 1.Fall hat p(x) Grad 5, oder ist hier [mm] (1+x+x^2+x^3+x^4) [/mm] gemeint? Denn beide Vielecks sind konstruierbar, also kann als Minimalpolynom doch n ur [mm] (1+x+x^2+x^3+x^4) [/mm] im 1.Fall gemeint sein oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 So 02.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
du suchst im ersten Fall das Minimalpolynom der 5ten Einheitswurzel. Also das fünfte Kreisteilungspolynom. Da 5 Primzahl ist, ist das Minimalpolynom der fünften Einheitswurzel vom Grad 4. (Schau dir das mal bei Wikipedia an, Stichwort: Kreisteilungspolynom)
Grüße
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