Konstruktion einer Surjektion < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Konstruieren Sie eine Surjektion f: [mm] \mathcal{P}(\IN) \to [/mm] [0,1]. Mutmaßen Sie, ob Ihr f injektiv ist. |
Obige ist eine Aufgabe aus unserem aktuellen Übungsblatt.
Mein Lösungsvorschlag ist: N [mm] \mapsto \bruch{\#N}{\#\IN}, [/mm] wobei N [mm] \subseteq \mathcal{P}(\IN)
[/mm]
[mm] #\IN [/mm] ist ja [mm] \infty. [/mm] Abgesehen davon, ob mein Lösungsvorschlag generell funktioniert, interessiert mich also besonders die Frage:
Kann man durch [mm] \infty [/mm] dividieren und wenn ja, was kommt dabei heraus?
(Zum zweiten Aufgabenteil: f wäre nicht injektiv, da f(N) z.B. für alle Einermengen gleich wäre.)
Vielen Dank für eure Hilfe  .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 So 08.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Konstruieren Sie eine Surjektion f: [mm]\mathcal{P}(\IN) \to[/mm]
> [0,1]. Mutmaßen Sie, ob Ihr f injektiv ist.
> Obige ist eine Aufgabe aus unserem aktuellen Übungsblatt.
>
> Mein Lösungsvorschlag ist: N [mm]\mapsto \bruch{\#N}{\#\IN},[/mm]
> wobei N [mm]\subseteq \mathcal{P}(\IN)[/mm]
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> [mm]#\IN[/mm] ist ja [mm]\infty.[/mm] Abgesehen davon, ob mein
> Lösungsvorschlag generell funktioniert, interessiert mich
> also besonders die Frage:
>
> Kann man durch [mm]\infty[/mm] dividieren und wenn ja, was kommt
> dabei heraus?
Leider, nein. Sodass Deine Loesungs"funktion" nicht eine gesuchte Surjektion ist. Wenn man wollte, koennte man sagen "endliche Zahl geteilt durch [mm] $\infty$= [/mm] 0", aber dann waere [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] nicht in der Bildmenge. Ferner bliebe ungeklaert, was etwa [mm] $f(\IN\setminus\{1\})$ [/mm] sein sollte. Bedenke auch, dass $[0,1]$ nicht nur rationale Zahlen enthaelt.
>
> (Zum zweiten Aufgabenteil: f wäre nicht injektiv, da f(N)
> z.B. für alle Einermengen gleich wäre.)
>
> Vielen Dank für eure Hilfe .
Es ist schwierig hier eine Tip zu geben, ohne gleich alles zu verraten. Ich wuerde sagen: Finde lieber eine schoene Funktion [mm] $g:[0,1]\to \IN$, [/mm] indem man an die Dualzahldarstellung denkt, und konstruiere damit Dein $f$. Das hilft vielleicht auch bei den Mutmassungen ueber die Injektivitaet.
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| Aufgabe | Konstruieren Sie eine Surjektion f: $ [mm] \mathcal{P}(\IN) \to [/mm] $
[0,1]. Mutmaßen Sie, ob Ihr f injektiv ist. |
Vielen Dank erstmal für deine schnelle Antwort .
Ich hatte ihn erstmal unterschlagen, aber auf unserem Übungblatt steht zusätzlich noch folgender Hinweis:
"Sie können verwenden, dass es zu jeder reellen Zahl x [mm] \in [/mm] [0,1] eine Darstellung x = [mm] \summe_{i\ge1}2^{-i}a_{i} [/mm] gibt, die Binärdarstellung 0,a1, a2, a3... des unendlichen Bruchs. Sie müssen also nur für M [mm] \subseteq \IN [/mm] die passenden [mm] a_{i} [/mm] definieren und zeigen, dass Ihre Abbildung surjektiv ist."
Allerdings werde ich aus daraus nicht schlau. Wofür steht z.B. das i in der Summenformel? Bedeutet das, dass über alle natürlichen Zahlen [mm] \ge [/mm] 1 iteriert wird?
Bestimmt das [mm] a_{i}, [/mm] ob an der Stelle der jeweilige Zweierpotenz [mm] 2^{-i} [/mm] eine 0 oder 1 steht?
Ich bin mir auch unsicher, wie ich mithilfe dieser Formel aus einem gegebenen Bruch die Binärdarstellung ermitteln kann. Für den Dezimalbruch 0,25 wäre das ja z.B. 0,01, aber wie komme ich von 0,25 durch die Summenformel darauf?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Mo 09.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Konstruieren Sie eine Surjektion f: [mm]\mathcal{P}(\IN) \to[/mm]
>
> [0,1]. Mutmaßen Sie, ob Ihr f injektiv ist.
> Vielen Dank erstmal für deine schnelle Antwort .
>
> Ich hatte ihn erstmal unterschlagen,
Du schlimme Person! 
> aber auf unserem
> Übungblatt steht zusätzlich noch folgender Hinweis:
>
> "Sie können verwenden, dass es zu jeder reellen Zahl x [mm]\in[/mm]
> [0,1] eine Darstellung x = [mm]\summe_{i\ge1}2^{-i}a_{i}[/mm] gibt,
> die Binärdarstellung 0,a1, a2, a3... des unendlichen
> Bruchs. Sie müssen also nur für M [mm]\subseteq \IN[/mm] die
> passenden [mm]a_{i}[/mm] definieren und zeigen, dass Ihre Abbildung
> surjektiv ist."
>
> Allerdings werde ich aus daraus nicht schlau. Wofür steht
> z.B. das i in der Summenformel? Bedeutet das, dass über
> alle natürlichen Zahlen [mm]\ge[/mm] 1 iteriert wird?
> Bestimmt das [mm]a_{i},[/mm] ob an der Stelle der jeweilige
> Zweierpotenz [mm]2^{-i}[/mm] eine 0 oder 1 steht?
Man spricht hier von "summieren" statt "iterieren"; aber Du hast trotzdem recht, denn das $i$ durchlaeuft alle nat. Zahlen [mm] $\geq [/mm] 1$. Also [mm] $\summe_{i\ge 1}2^{-i}a_{i}= \frac{a_{1}}{2}+ \frac{a_{2}}{4}+ \frac{a_{3}}{8}+ [/mm] ...$; es ist "nur" eine Kurzschreibweise.
> Ich bin mir auch unsicher, wie ich mithilfe dieser Formel
> aus einem gegebenen Bruch die Binärdarstellung ermitteln
> kann. Für den Dezimalbruch 0,25 wäre das ja z.B. 0,01,
> aber wie komme ich von 0,25 durch die Summenformel darauf?
Deine Rechnung stimmt. Man schreibt dann $0,25= [mm] 0\cdot\frac{1}{2}+ 1\cdot\frac{1}{4}+ 0\cdot\frac{1}{8}+...$ [/mm] oder mit dem Summenzeichen $0,25= [mm] \summe_{i\ge 1}2^{-i}a_{i}$, [/mm] wobei [mm] $a_{i}= \begin{cases} 0 & i\neq 2 \\ 1 & i= 2 \end{cases}$. [/mm] Die Summenformel liefert Dir also nicht die [mm] $a_{i}$, [/mm] sondern ist nur eine Darstellung von z.B. $0,25$. Wie man auf die [mm] $a_{i}$ [/mm] kommt ist hier sekundaer.
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