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| Aufgabe 1 | | Konstruiere eine divergente Reihe [mm] (\summe_{k=1}^{n}a_{n})^{\infty}_{n=1} [/mm] sodass 0 [mm] \le a_{n} [/mm] und [mm] a_{n}^{\bruch{1}{n}} [/mm] < 1 für alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Konstruiere eine divergente Reihe [mm] (\summe_{k=1}^{n}a_{n})^{\infty}_{n=1} [/mm] sodass 0 [mm] \le a_{n} [/mm] und [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] < 1 für alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
Guten Abend!
Ich muss zwei Reihen nach obigen Angaben (s. Aufgabenstellung) konstruieren. Leider weiß ich hierbei überhaupt nicht, wo ich anfangen soll. Ist es sinnvoll, mit "bekannten" Reihen (geometrische Reihe, Reihendarstellung der e-Funktion, harmonische Reihe) zu beginnen und ein wenig zu experimentieren?
Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar!
Beste Grüße
mathe_thommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 So 03.01.2016 | | Autor: | statler |
> Konstruiere eine divergente Reihe
> [mm](\summe_{k=1}^{n}a_{n})^{\infty}_{n=1}[/mm] sodass 0 [mm]\le a_{n}[/mm]
> und [mm]a_{n}^{\bruch{1}{n}}[/mm] < 1 für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Konstruiere eine divergente Reihe
> [mm](\summe_{k=1}^{n}a_{n})^{\infty}_{n=1}[/mm] sodass 0 [mm]\le a_{n}[/mm]
> und [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] < 1 für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
Ebenfalls guten Abend!
> Ich muss zwei Reihen nach obigen Angaben (s.
> Aufgabenstellung) konstruieren. Leider weiß ich hierbei
> überhaupt nicht, wo ich anfangen soll.
Das ist natürlich schlecht :-(
> Ist es sinnvoll,
> mit "bekannten" Reihen (geometrische Reihe,
> Reihendarstellung der e-Funktion, harmonische Reihe) zu
> beginnen und ein wenig zu experimentieren?
Ja, ist es.
> Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar!
Welche würdest du denn nehmen, wenn es eine divergente Reihe werden soll?
Ich denke, das kriste hin.
Gruß aus HH
Dieter
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Da ich eine divergente Reihe konstruieren soll, kann ich sowohl die harmonische Reihe als auch die geometrische Reihe wählen. Stelle ich die geometrische Reihe wie folgt dar:
[mm] (\summe_{k=1}^{n}r^{k-1})_{n=1}^{\infty},
[/mm]
muss ich [mm] r\ge1 [/mm] wählen, damit die Reihe divergiert.
Wie erfülle ich nun die Bedingungen aus den Aufgabenstellungen? Muss ich dafür die Reihen verändern, zum Beispiel durch Hinzufügen eines Faktors?
Beste Grüße
mache_thommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Di 05.01.2016 | | Autor: | Jule2 |
Was hälst du denn von [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1/k !!!
Die musst du bei 1 einwenig anpassen !!
LG
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Danke für deinen Tipp, bezüglich der harmonischen Reihe!
Diese Reihe an sich erfüllt die Bedingungen nicht, da beispielsweise [mm] a_{2} [/mm] > 1. Ich habe nun schon mehrere "Umformungen" der harmonischen Reihe ausprobiert, um die Bedingungen zu erfüllen (mit Vorzeichen experimentiert; Faktor hinzugefügt; Quotient eingebaut), komme allerdings nie auf eine passende Folge. Könnte mir jemand von Euch möglicherweise noch einen Tipp geben?
Im Endeffekt benötige ich ja ein "Gegenbeispiel" für das Cauchy- und das d'Alembert-Kriterium bezüglich der Konvergenz. Für die erste Aufgabe habe ich mit der harmonischen Reihe nun eine geeignete Reihe gefunden. Was aber kann ich nutzen, um das d'Alembert-Kriterium mit einer divergenten Reihe auszuhebeln, sodass [mm] \bruch{a_(n+1)}{a_n}<1 [/mm] gilt?
Besten Dank und lieben Gruß
mathe_thommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 05.01.2016 | | Autor: | Jule2 |
Was ist denn [mm] \bruch{\bruch{1}{k+1}}{\bruch{1}{k}}???
[/mm]
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Guten Abend Jule,
wenn ich mir deinen Hinweis anschaue, komme ich auf folgende Umformungsschritte:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{1}{k+1}}{\bruch{1}{k}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{k+1}*\bruch{k}{1}
[/mm]
= [mm] \bruch{k}{k+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{k}{k}+\bruch{k}{1}
[/mm]
= 1+k
Wie hilft mir das weiter, denn die Aufgabenstellung schreibt mir doch [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] < 1 vor. Was genau übersehe ich?
Beste Grüße und noch einmal Danke!
mathe_thommy
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Hiho,
> = [mm]\bruch{k}{k+1}[/mm]
> = [mm]\bruch{k}{k}+\bruch{k}{1}[/mm]
bei dem Umformungsschritt sage ich nur "AUTSCH!!!"
Grundschule 5. Klasse Bruchrechnen......
Aber: Es ist $k+1 > k$ und damit $1 > [mm] \frac{k}{k+1}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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Danke, Gonozal!
Damit habe ich doch fast genau das erreicht, was ich wollte. Wie komme ich nun im letzten Schritt von [mm] \bruch{k}{k+1} [/mm] < 1 auf [mm] \bruch{k+1}{k} [/mm] < 1?
Gruß
mathe_thommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Di 05.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke, Gonozal!
>
> Damit habe ich doch fast genau das erreicht, was ich
> wollte. Wie komme ich nun im letzten Schritt von
> [mm]\bruch{k}{k+1}[/mm] < 1 auf [mm]\bruch{k+1}{k}[/mm] < 1?
Das wist du nicht schaffen, denn [mm] \frac{k+1}{k}=\frac{k}{k}+\frac{1}{k}>1
[/mm]
Aber du kannst, wenn k>0 ist, die Ungleichung $k+1>k$ auf beiden Seiten durch k+1 dividieren.
>
> Gruß
> mathe_thommy
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Mi 06.01.2016 | | Autor: | Jule2 |
Also du möchtest doch das [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}<1 [/mm] ist!
Nun gilt für [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{k+1} [/mm] ist und [mm] a_{n}= \bruch{1}{k}
[/mm]
Also [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \bruch{ \bruch{1}{k+1}}{\bruch{1}{k}}
[/mm]
[mm] =\bruch{k}{k+1}<1 [/mm] !
Somit gilt für die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] das sie divergiert und größer null ist und [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}<1! [/mm]
LG
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