Kontrahierende Abb metr. Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Mamahai |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein vollständiger metischer Raum. und sei T: X --> X eine Abbildung.
Vor: Sei T kontrahierend.
Zzg: Dann ist auch T hoch 5 :X--> X kontrahierend |
Hallo,
mein Problem ist dass ich keinen Ansatz finde. Zu kontrahierend haben wir nur den Banschschen Fixpunktsatz gemacht, aber von dem kann man ja nur von kontrahierend auf genau einen Fixpunkt schließen.
Hatte versucht zzg dass |T(x)-T(y)| <= |x-y| ist und habe dann T(x)=: a und T(y)=: b ... und dann wieder T drauf angewendet usw.. aber am Ende hatte ich dann |T5(x)-T5(y)|<=|T4(x)-T(y)| aber das wollte ich ja nicht zeigen.
Kann mir jmd helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Fr 02.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei (X,d) ein vollständiger metischer Raum. und sei T: X
> --> X eine Abbildung.
>
> Vor: Sei T kontrahierend.
> Zzg: Dann ist auch T hoch 5 :X--> X kontrahierend
> Hallo,
>
> mein Problem ist dass ich keinen Ansatz finde. Zu
> kontrahierend haben wir nur den Banschschen Fixpunktsatz
> gemacht, aber von dem kann man ja nur von kontrahierend auf
> genau einen Fixpunkt schließen.
> Hatte versucht zzg dass |T(x)-T(y)| <= |x-y| ist und habe
> dann T(x)=: a und T(y)=: b ... und dann wieder T drauf
> angewendet usw.. aber am Ende hatte ich dann
> |T5(x)-T5(y)|<=|T4(x)-T(y)| aber das wollte ich ja nicht
Du meinst [mm] $|T^5(x) [/mm] - [mm] T^5(y)| \le |T^4(x) [/mm] - [mm] T^4(y)|$?
[/mm]
> zeigen.
> Kann mir jmd helfen?
Nun, mit genau dem gleichen Argument zeigst du [mm] $|T^4(x) [/mm] - [mm] T^4(y)| \le |T^3(x) [/mm] - [mm] T^3(y)|$. [/mm] Wenn du das zusammensetzt bekommst du [mm] $|T^5(x) [/mm] - [mm] T^5(y)| \le |T^3(x) [/mm] - [mm] T^3(y)|$. [/mm] So. Und wenn du jetzt so weitermachst, kommst du schliesslich auf das was du haben willst 
LG Felix
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