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| Aufgabe | Es sei (M,d) ein vollständiger metrischer Raum und f:M->M eine Kontraktion.
Anwendung:
Sei [mm] f(x):=(1/7)*(x^5 [/mm] + x+ 1)
Bestimmen sie a >0, sodass f:[0,a]->[0,a] eine Kontraktion ist und zeigen sie, dass die Gleichung f(x)=x eine eindeutige Lösung im Intervall [0,a] hat |
Hey
zuerst muss ich beweisen das die Abbildung eine Kontraktion ist. Das bedeutet, dass es eine Konstante c mit der Eigenschaft:
c [mm] \in [/mm] [0,1) für alle x [mm] \in [/mm] [0,a] gibt mit:
d(f(x),f(y)) [mm] \le [/mm] c * d(x,y)
in diesem Fall muss ich also beweise:
[mm] d((1/7)*(x^5 [/mm] + x+ [mm] 1),(1/7)*(y^5 [/mm] + y+ 1)) [mm] \le [/mm] c*d(x,y)
jetzt weiß ich aber an dieser Stelle nicht genau, wie ich am Besten weiter umforme..
naja und zum Schluss muss ich ja beweisen, dass die Gleichung f(x)=x eindeutig ist, hier weiß ich allerdings auch nicht genau wie ich das am Besten mache und würde mich daher über Hilfe freuen.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Sa 21.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei (M,d) ein vollständiger metrischer Raum und f:M->M
> eine Kontraktion.
> Anwendung:
> Sei [mm]f(x):=(1/7)*(x^5[/mm] + x+ 1)
> Bestimmen sie a >0, sodass f:[0,a]->[0,a] eine Kontraktion
> ist und zeigen sie, dass die Gleichung f(x)=x eine
> eindeutige Lösung im Intervall [0,a] hat
>
> Hey
> zuerst muss ich beweisen das die Abbildung eine
> Kontraktion ist. Das bedeutet, dass es eine Konstante c mit
> der Eigenschaft:
> c [mm]\in[/mm] [0,1) für alle x [mm]\in[/mm] [0,a] gibt mit:
> d(f(x),f(y)) [mm]\le[/mm] c * d(x,y)
> in diesem Fall muss ich also beweise:
> [mm]d((1/7)*(x^5[/mm] + x+ [mm]1),(1/7)*(y^5[/mm] + y+ 1)) [mm]\le[/mm] c*d(x,y)
Es ist doch d(x,y)=|x-y|
>
> jetzt weiß ich aber an dieser Stelle nicht genau, wie ich
> am Besten weiter umforme..
Bestimme zunächst a so, dass f([0,a]) [mm] \subset [/mm] [0,a] und max [mm] \{|f'(x): x \in [0,a] \} [/mm] <1
Für die KOntraktionseigenschaft bemühe den Mittelwertsatz
>
>
> naja und zum Schluss muss ich ja beweisen, dass die
> Gleichung f(x)=x eindeutig ist, hier weiß ich allerdings
> auch nicht genau wie ich das am Besten mache und würde
> mich daher über Hilfe freuen.
Banachscher Fixpunktsatz !
FRED
>
>
> LG
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Hey.
mit dem Mittelwertsatz folgt |f(x)-f(y)|= |f'(c)|*|x-y|
und damit das mit der Kontraktion stimmt muss ja gelten:
|f(x)-f(y)|= |f'(c)|*|x-y| [mm] \le [/mm] c* |x-y|
also muss gelten:
|f'(c)| [mm] \le [/mm] c
hier ist f'(x)= 1/7 * [mm] (5x^4 [/mm] + 1 )
und da c im Intervall [0,1) liegt, gilt f'(c) < 6/7=c
reicht das als Beweis für die Existenz der Kontraktion?
und wie beweise ich nun, dass f(x)=x eindeutig ist?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Sa 21.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Lina,
> mit dem Mittelwertsatz folgt |f(x)-f(y)|= |f'(c)|*|x-y|
> und damit das mit der Kontraktion stimmt muss ja gelten:
> |f(x)-f(y)|= |f'(c)|*|x-y| [mm]\le[/mm] c* |x-y|
> also muss gelten:
> |f'(c)| [mm]\le[/mm] c
> hier ist f'(x)= 1/7 * [mm](5x^4[/mm] + 1 )
> und da c im Intervall [0,1) liegt, gilt f'(c) < 6/7=c
Im Prinzip ist das richtig, aber das Intervall stimmt nicht
und deine Argumentation lässt zu wünschen übrig.
> reicht das als Beweis für die Existenz der Kontraktion?
Nein, denn du hast noch nicht gezeigt, dass das Intervall
in sich selbst abbildet.
> und wie beweise ich nun, dass f(x)=x eindeutig ist?
Verstehst du eigentlich um was es hier geht? Es geht um
den Banachscher Fixpunktsatz!
Wir setzen
[mm] $f\colon M\to [/mm] M$ mit [mm] $M:=[0,1]\$
[/mm]
und begründen die Voraussetzungen des obigen Satzes.
Jetzt wieder du.
Gruß
DieAcht
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Hallo,
Tut mir leid, Banachscher Fixpunktsatz sagt mir leider gar nichts.
> [mm]f\colon M\to M[/mm] mit [mm]M:=[0,1]\[/mm]
>
> und begründen die Voraussetzungen des obigen Satzes.
>
> Jetzt wieder du.
daher weiß ich an dieser Stelle auch leider gar nicht wie ich weiter begründen soll bzw. was genau ich begründen soll?
und wieso ist das Intervall denn falsch? In meiner Definiton steht, dass ein c [mm] \in [/mm] [0,1) für das d(f(x),f(y)) [mm] \le [/mm] C * d(x,y)
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 So 22.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Tut mir leid, Banachscher Fixpunktsatz sagt mir leider gar nichts.
Das ist zwar komisch, aber die Aufgabe ist natürlich auch
ohne BFPS lösbar. Wieso hast du uns das eigentlich nicht
direkt nach der ersten Antwort von Fred gesagt?
> > [mm]f\colon M\to M[/mm] mit [mm]M:=[0,1]\[/mm]
> >
> > und begründen die Voraussetzungen des obigen Satzes.
> >
> > Jetzt wieder du.
> daher weiß ich an dieser Stelle auch leider gar nicht wie
> ich weiter begründen soll bzw. was genau ich begründen
> soll?
Verständlich.
> und wieso ist das Intervall denn falsch? In meiner
> Definiton steht, dass ein c [mm]\in[/mm] [0,1) für das d(f(x),f(y))
> [mm]\le[/mm] C * d(x,y)
Das stimmt nur teilweise, denn zunächst muss obige Aussage
für alle [mm] $x,y\in [/mm] M$ gelten, aber du hast nach wie vor kein [mm] $a>0\$
[/mm]
und damit [mm] $M:=[0,a]\$ [/mm] gesetzt, sodass obige Aussage überhaupt
gelten kann. Aus diesem Grund habe ich dir bereits [mm] $a:=1>0\$
[/mm]
vorgeschlagen, sodass mit [mm] $M:=[0,1]\$ [/mm] ein [mm] $c\in[0,1)$ [/mm] gesucht ist mit
[mm] $|f(x)-f(y)|\le [/mm] c|x-y|$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] M$.
Durch den Mittelwertsatz ist [mm] c\in[0,1) [/mm] sofort mit
[mm] \max_{x\in M}|f'(x)|=\frac{6}{7}=:c
[/mm]
gegeben (Beachte [mm] $x\in [/mm] M$ und begründe!). Jetzt kommen wir
zu deinem zweiten Fehler: Du hast weiterhin nicht gezeigt,
dass obiges [mm] $f\$ [/mm] eine Kontraktion ist, denn zur Kontraktion
gehört nicht nur die Lipschitz-Bedingung mit obigem [mm] c\in[0,1),
[/mm]
sondern auch, dass die Menge [mm] $M\$ [/mm] in sich abbildet [mm] ($f(M)\subseteq [/mm] M$).
Eigentlich müsste das in eurer Definition stehen. Falls es
in eurer Definition steht, dann zeige diese Eigenschaft und
falls diese Eigenschaft in eurer Definition nicht stehen
sollte, dann ist es auch nicht weiter tragisch, denn die
Aussage, dass die Gleichung [mm] $f(x)=x\$ [/mm] genau eine Lösung in
[mm] $M\$ [/mm] besitzt funktioniert auch unabhängig davon.
Sei
[mm] $f\colon M\to M\colon x\mapsto\frac{x^5+x+1}{7}$ [/mm] mit [mm] $M:=[0,1]\$.
[/mm]
Zu zeigen: Es existiert genau ein [mm] $x\in [/mm] M$ mit [mm] $f(x)=x\$.
[/mm]
Beweisskizze:
1) Zeige, dass kein [mm] $x\in [/mm] M$ existiert mit $f'(x)=1$.
2) Wir setzen [mm] \Phi(x):=$f(x)-x\$. [/mm] Wegen [mm] $\Phi(0)>0\$ [/mm] und [mm] $\Phi(1)<0$
[/mm]
existiert nach dem Zwischenwertsatz mindestens ein
[mm] $\xi\in(0,1)\$ [/mm] mit [mm] \Phi(\xi)=0.
[/mm]
3) Angenommen, es existiert [mm] \tilde{\xi}\in(0,1) [/mm] mit [mm] \tilde{\xi}\not=\xi, [/mm] sodass [mm] \Phi(\tilde{\xi})=0.
[/mm]
Führe das nun zum Widerspruch mit dem Satz von Rolle.
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