Konv./ Durchschnitt v. Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Do 09.11.2006 | | Autor: | wonni |
| Aufgabe | Man betrachte zwei positive Zahlen b>a>0. die Folgen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] seinen durch die Startwerte [mm] a_{0}=a [/mm] und [mm] b_{0}=b [/mm] und die Vorschrift [mm] a_{n+1}=\bruch{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\bruch{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}} [/mm] rekursiv definiert. Man zeige
a. [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] sind konvergent und es gilt [mm] b_{n} [/mm] > [mm] a_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN,
[/mm]
b. [mm] \bigcap_{n=0}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]=\wurzel{ab}. [/mm] |
wer kann mir denn bei diesem ominösen beispiel weiterhelfen. ich versuchte das beispiel auf die kriterien der monotonie, konvergenz, beschränktheit,... zu untersuchen, scheiterte jedoch schon in den ansätzen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Fr 10.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Man betrachte zwei positive Zahlen b>a>0. die Folgen [mm]a_{n}[/mm]
> und [mm]b_{n}[/mm] seinen durch die Startwerte [mm]a_{0}=a[/mm] und [mm]b_{0}=b[/mm]
> und die Vorschrift [mm]a_{n+1}=\bruch{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\bruch{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}[/mm]
> rekursiv definiert. Man zeige
> a. [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] sind konvergent und es gilt [mm]b_{n}[/mm] >
> [mm]a_{n}[/mm] für alle n [mm]\in \IN,[/mm]
> b. [mm]\bigcap_{n=0}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]=\wurzel{ab}.[/mm]
>
> wer kann mir denn bei diesem ominösen beispiel
> weiterhelfen. ich versuchte das beispiel auf die kriterien
> der monotonie, konvergenz, beschränktheit,... zu
> untersuchen, scheiterte jedoch schon in den ansätzen.
1. zeige [mm] a_n
2. zeige [mm] a_n [/mm] monoton wachsend, [mm] b_n [/mm] monoton fallend.
3. dann hast du durch b1 bzw a1 beschränkte und monotone Folgen und damit Konvergenz.
b sollte leicht sein, wenn du a hast.(gemeinsamer GW)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Woif1986 |
Hallo!
Ich habe den 1. Schritt mittels vollständiger Induktion (zz. [mm] a_n [/mm] < [mm] b_n) [/mm] probiert, gelange jedoch bereits in meiner Induktionsbasis zu dem Widerspruch [mm] (a-b)^2 [/mm] < 0. Daher würde genau das Gegenteil bewiesen werden, sprich [mm] a_n [/mm] > [mm] b_n.
[/mm]
Könnte mir bitte jemand sagen, wie man das richtig macht bzw. ob ich mich verrechnet habe?
Gruß, Wolfgang.
|
|
|
| |
|
Die Angabe [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] ist falsch. Natürlich muss [mm] a_{n} [/mm] > [mm] b_{n} [/mm] sein, sonst geht es nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Fr 10.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
also erstens scheint mir in der Aufgabestellung ein Fehler vorzuliegen, es muss gelten [mm] a\ge{b}.
[/mm]
Das [mm] a_n\ge{b_n} [/mm] gilt, braucht man nicht mit Induktion nachweisen, sondern einfach durch Differenzbildung.
[mm] a_{n+1}-b_{n+1}=\br{(a_n-b_n)^2}{2(a_n+b_n)}\ge{0} [/mm] also [mm] a_{n+1}\ge{b_{n+1}}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] ist eine monoton fallende Folge weil [mm] a_1\le{a_0} [/mm] gilt und [mm] a_{n+1}=\br{a_n+b_n}{2}\le{a_n}
[/mm]
[mm] b_n [/mm] ist eine monoton steigende Folge wegen [mm] b_1\ge{b_0} [/mm] und [mm] b_{n+1}=\br{2{a_n}{b_n}}{a_n+b_n}\ge{b_n}
[/mm]
Daraus folgt, die Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergieren (monoton und beschränkt).
Die Grenzwerte sind gleich.
Seien [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=x [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=y, [/mm] dann gilt
[mm] x=\br{x+y}{2} [/mm] und deshalb x=y
Weil [mm] a_{n+1}b_{n+1}=a_{n}b_{n} [/mm] gilt, folgt [mm] a_{n+1}b_{n+1}=ab
[/mm]
Nach dem Grenzübergang gilt [mm] xy=x^2=ab, [/mm] also [mm] x=y=\wurzel{ab}
[/mm]
Grüsse an die Steiermark
mfg ullim
|
|
|
|
