Konv. v. Folge und GW ges. II < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Sa 16.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{2n^{2}-n} [/mm] - [mm] \bruch{2n^{3}}{(n+1)^{2}} [/mm] |
So ich soll das Konvergenzverhalten bestimmen und ggf. den Grenzwert.
Dazu bringe ich wohl erstmal alles auf einen Nennen und lasse dann n gegen [mm] \infty [/mm] laufen.... nun meine ich, es gab einen Trick die Wurzel da weg zu bekommen, kann mich aber nicht mehr daran erinnern wie das funktioniert hat, sofern ich mit dieser Vermutung richtig liege, wäre es nett wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Ich meine es war so, dass die Wurzel erweitert wird in etwas so:
[mm] \wurzel{2n^{2}-n} \cdot \bruch{\wurzel{2n^{2}+n}}{\wurzel{2n^{2}+n}}
[/mm]
Und dann Binomische Formel ... nur irgendwie klappt das nicht, oder bin ich auf dem falschen Dampfer?
|
|
| |
|
Hiho,
die Idee ist ganz gut normalerweise, führt hier aber wohl nicht zu erfolgt.
Einfacher ist es: Schau mal, was du aus der Wurzel ausklammern kannst, (was passiert dann netterweise mit der Wurzel) bilde dann den Hauptnenner und klammer wieder die höchste gemeinsame Potenz aus.
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 16.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Schau mal, was du aus der Wurzel ausklammern kannst |
Aus Wurzeln ausklammern, tue ich mich schwer mit, könntest du mir ein Beispiel geben? Auf der Wiki habe ich leider keins gefunden wie das geht...
|
|
|
| |
|
Naja, was wäre denn sinnvoll innerhalb der Wurzel auszuklammern, damit du es aus der Wurzel rausziehen kannst?
Wann kannst du denn etwas schön aus der Wurzel rausziehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Sa 16.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Naja, was wäre denn sinnvoll innerhalb der Wurzel auszuklammern, damit du es aus der Wurzel rausziehen kannst?
Wann kannst du denn etwas schön aus der Wurzel rausziehen?
Also:
|
Nun unter der Wurzel würde ich so vorgehen:
[mm] \wurzel{2n^{2}-n} [/mm] = [mm] \wurzel{n\cdot(2n-1)}
[/mm]
oder auch
[mm] \wurzel{n^{2}\cdot(2-\bruch{1}{n})}
[/mm]
wenn mich jetzt nich alles täscht müsste folgendes legitim sein:
[mm] \wurzel{n^{2}\cdot(2-\bruch{1}{n})} [/mm] = [mm] n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}
[/mm]
Sofern diese Annahme richtig ist also:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}-\bruch{2n^{3}}{(n+1)^{2}} [/mm]
Das hier: [mm] \bruch{2n^{3}}{(n+1)^{2}} [/mm] einzeln betrachtet ließe sich auch so schreiben:
[mm] \bruch{2n^{3}}{n^{2}+2n+1} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}(2n)}{n^{2}(1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}})}
[/mm]
Also [mm] n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}} [/mm] - [mm] \bruch{2n}{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}} [/mm]
Ist aber immer noch unbestimmt oder?
Wenn ich auf einen Nenner bringe komme ich auf:
[mm] \bruch{n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}\cdot(n+1)^{2}-2n^{3}}{(n+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}\cdot(n^{2}+2n+1)-2n^{3}}{n^{2}+2n+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^{3}\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}+2n^{2}\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}+n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}-2n^{3}}{n^{2}+2n+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{n^{2}\cdot(n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}+2\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}+\bruch{1}{n}\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}-2n)}{n^{2}\cdot(1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}})}
[/mm]
Da:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] = 0
Kann man sagen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}\cdot(n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}+2\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}+\bruch{1}{n}\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}}-2n)}{n^{2}\cdot(1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}})} [/mm] = [mm] \bruch{\infty - \infty}{1}
[/mm]
Bringt mich aber nicht weiter oder habe ich irgendwo was falsch gemacht oder ist mir mal wider eine Umformungsmöglichkeit entgangenm, durch die dieses Problem umschifft werden kann?
|
|
|
| |
|
Zitat:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
wenn mich jetzt nich alles täscht müsste folgendes legitim sein:
$ [mm] \wurzel{n^{2}\cdot(2-\bruch{1}{n})} [/mm] $ = $ [mm] n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}} [/mm] $
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
soweit so gut.
$ [mm] \bruch{2n^{3}}{(n+1)^{2}} [/mm] $
was diesen verbleibenden Term angeht, kann man das sicher auch so machen alles auf einen Hauptnenner zu bringen, ich persönlich würde aber einfach mal ne Polynomdivision durchführen:
[mm] (2n^{3}) [/mm] : [mm] (n^{2} [/mm] + 2n + 1) = 2n - 4 + [mm] \bruch{6n+4}{n^{2}+2n+1}
[/mm]
Somit hast du jetzt
[mm] n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}} [/mm] - 2n - 4 + $ [mm] \bruch{6n+4}{n^{2}+2n+1} [/mm] $
Wenn du davon jetzt eine Limesbetrachtung n gegen unendlich machst und dann n ausklammerst ist abzulesen wogegen der Term läuft (Vorzeichen beachten).
Ich habe dein vorheriges Posting nur überflogen, da ich nicht soviel Zeit hatte (sorry;D) und kann dir also nicht sagen was du falsch gemacht hast - gegen 0 geht es allerdings nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Sa 16.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}} [/mm] $ - 2n - 4 + $ [mm] \bruch{6n+4}{n^{2}+2n+1} [/mm] $ |
Wenn ich davon eine Limesbetrachtung mache für n [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
dann wird $ [mm] n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}} [/mm] $ [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
2n [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
und
$ [mm] \bruch{6n+4}{n^{2}+2n+1} [/mm] $ [mm] \rightarrow [/mm] 0
Also [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] - 4 + 0
Oder ich kann hier gerade nicht ganz folgen.
|
|
|
| |
|
so kannst du das nicht machen, die interpretationen der einzelnen Terme sind zwar richtig, aber sie stehen in Wechselwirkungen untereinander die du so kaum absehen kannst.
das bedeutet du musst erstmal noch weiter umformen, bis du an einem Term angekommen bist den du zweifelsfrei interpretieren kannst.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ [mm] n\cdot\wurzel{2-\bruch{1}{n}} [/mm] $ - 2n - 4 + $ [mm] \bruch{6n+4}{n^{2}+2n+1} [/mm] $
[mm] \Rightarrow n\cdot\wurzel{2} [/mm] - 2n
selbst an dieser Stelle kannst du noch nicht wirklich aufhören, obwohl schon zu sehen ist dass 2 mal n größer ist als n mal Wurzel 2....aber trotzdem, mach immer solange weiter bis du einen einwandfreien Term hast:
[mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \cdot (\wurzel{2} [/mm] - 2) [mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] \infty
[/mm]
|
|
|
|
