Konvegrenz von Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Mumrel |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Durch das plotten einiger [mm] f_n [/mm] kam ich zu dem Schluss, dass die Grenzfunktion, sofern sie existiert wohl f(x) = x+1 sein muss.
Um die punktweise Konvergenz nachzuweisen hab ich also folgenden Ansatz:
Es muss gelten [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \exists n_0 \forall [/mm] n [mm] \geq n_0 [/mm] : [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
[mm] \frac{x+nx^2+nx}{1+nx}-x+1 [/mm] = [mm] \frac{x + nx^2 + nx - (x + nx^2 + 1 + nx}{1+nx}= \frac{1}{1+nx}
[/mm]
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{1+nx} \to [/mm] 0 geht wenn x [mm] \not= [/mm] 0, findet sich somit sicher ein [mm] n_0 [/mm] für das obiges gilt.
Somit sollte das auf den Intervallen I2 und I3 punktweise konvergieren, auf I1 wegen x=0 nicht. Wo ist aber der Unterschied zwischen I3 und I2? Ich denke doch wenn konvergent auf I3 so auch auf I2.
Wer nett wenn da mal jemand drüberschaut und mir den ein oder anderen Hinweis/Kommentar dazu gibt.
Gleichmäßige Konvergenz hab ich mir noch nicht vorgenommen, dazu dann morgen mehr.
Vielen Dank und Grüße
Mumrel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Do 19.04.2007 | | Autor: | wauwau |
der Unterschied zwischen [mm] I_{2} [/mm] und [mm] I_{3} [/mm] kommt erst bei der gleichmäßigen Konvergenz zu tragen...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:03 Do 19.04.2007 | | Autor: | Mumrel |
Ok, nach deinem Wink komme ich zu dem Schluss,
dass die Funktionenfolge auf den Intervalle wie folgt konvergiert:
I1, gar nicht, da [mm] f_n [/mm] für x=0 nicht gegen 0 konvergiert. Notwendiges Kriterium
I2, gleichmäßig sofern man als Definitionsbereich a [mm] \geq [/mm] 1 wählt. Die Konvergenz ist dann von x unabhänig, da das n im Nenner dominiert
I3, punktweise, da x=0 ausgeschlossen ist.
Einverstanden?
Ich habe die Grenzfunktion jetzt über gnuplot gefunden, welches mir in Prüfungssiuatinen sicher nicht zur Verfügung steht.
Gibt es Tricks um auf die grenzfunktion zu kommen? Denn wenn man dei grenzfunktion nicht kennt sieht man ja alt aus, oder nicht?
Danke Grüße Mumrel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 21.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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