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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Mo 24.06.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
heute muss ich schon zum zweiten Mal etwas nachfragen, wo mir eventuell eine Konvention unbekannt ist. Vielleicht handelt es sich aber auch um Nachlässigkeit?
Also: in einer Übungsaufgabe ist eine lineare Abbildung [mm] \varphi: \IR^2 \to \IR^3 [/mm] gegeben bzgl. den Standardbasen. Weiters sind gegeben eine zweite Basis V des [mm] \IR^2 [/mm] und eine Basis W des [mm] \IR^3.
[/mm]
Nachdem im ersten Teil diejenige Abbildungsmatrix, welche die Abbildung [mm] _W\varphi_V[/mm], also [mm] \varphi [/mm] bzgl. V und W beschreibt, berechnet werden soll, folgt als zweiter Aufgabenteil:
Welche Koordinaten hat [mm] \varphi\left(\vektor{-3\\-1}\right) [/mm] bezüglich der Basis W?
So, was mir daran nicht so ganz klar ist: über die Basis des Urbildvektors ist hier nichts weiter gesagt. Würde man dann:
a) er ist bezüglich der Standardbasis angegeben
b) er ist bezüglich der Basis V (hierzu tendiere ich) angegeben
c) die Aufgabe ist nachlässig formuliert
annehmen?
Vielen Dank im Voraus wieder für jeden Ratschlag.
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Also: in einer Übungsaufgabe ist eine lineare Abbildung
> [mm]\varphi: \IR^2 \to \IR^3[/mm] gegeben bzgl. den Standardbasen.
> Weiters sind gegeben eine zweite Basis V des [mm]\IR^2[/mm] und
> eine Basis W des [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Nachdem im ersten Teil diejenige Abbildungsmatrix, welche
> die Abbildung [mm]_W\varphi_V[/mm], also [mm]\varphi[/mm] bzgl. V und W
> beschreibt, berechnet werden soll, folgt als zweiter
> Aufgabenteil:
>
> Welche Koordinaten hat [mm]\varphi\left(\vektor{-3\\-1}\right)[/mm]
> bezüglich der Basis W?
>
> So, was mir daran nicht so ganz klar ist: über die Basis
> des Urbildvektors ist hier nichts weiter gesagt. Würde man
> dann:
>
> a) er ist bezüglich der Standardbasis angegeben
> b) er ist bezüglich der Basis V (hierzu tendiere ich)
> angegeben
> c) die Aufgabe ist nachlässig formuliert
>
> annehmen?
Wenn dir in der Aufgabe die Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] gegeben ist z.B. durch
[mm] $\phi(x,y) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}x+y\\x-y\\x\end{pmatrix}$,
[/mm]
dann ist das DIE Abbildungsvorschrift.
Die a priori ohne Basen definiert ist - man weiß also bei einem Element aus [mm] $\IR^3$, [/mm] was die Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] bewirkt, auch ohne es in irgendeiner Basis darzustellen.
Ist $A$ die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] (Bzgl. irgendwelcher Basen V,W), so kann man [mm] \phi(x,y) [/mm] also berechnen, indem man zunächst (x,y) in der Basis V darstellt (erhalte Koordinatenvektor (a,b)), dann $A*(a,b)$ berechnet und zuletzt das Ergebnis wieder mittels der Basisvektoren von W in einen Vektor umwandelt.
Wichtig ist hierbei folgendes: Man steckt in [mm] $\phi$ [/mm] nicht die Koordinatenvektoren (a,b) rein (*) - das geht im Allgemeinen ja gar nicht, weil Koordinatenvektoren Elemente von [mm] $\IR^n$ [/mm] sind, und somit gar nicht im zugrundeliegenden Urbildvektorraum der linearen Abbildung liegen müssen (der zugrundeliegende Urbildvektorraum kann ja z.B. auch der Raum der Polynome etc. sein).
Wenn der zugrundeliegende Vektorraum aber [mm] $\IR^n$ [/mm] ist, dann kommt man in das Dilemma, dass man nicht mehr ohne weiteres zwischen Koordinatenvektoren und Vektoren (Elemente des Vektorraums) unterscheiden kann.
Nun ist es aber bei [mm] $\IR^3$ [/mm] üblicherweise so, dass man Vektoren bzgl. der Standardbasis angibt - man meint ja mit $(x,y,z) = x*(1,0,0) + y*(0,1,0)+z*(0,0,1)$. Wenn also nichts dasteht - und das ist die einzige Nachlässigkeit - ist ein Vektor bzgl. Standardbasis gemeint.
In diesem Sinne (also wegen (*)) ist a) die richtige Variante.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Mo 24.06.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Stefan,
zunächst vielen Dank für deine Antwort.
> Wenn dir in der Aufgabe die Abbildung [mm]\phi[/mm] gegeben ist z.B.
> durch
>
> [mm]\phi(x,y) = \begin{pmatrix}x+y\\x-y\\x\end{pmatrix}[/mm],
>
> dann ist das DIE Abbildungsvorschrift.
> Die a priori ohne Basen definiert ist - man weiß also bei
> einem Element aus [mm]\IR^3[/mm], was die Abbildung [mm]\phi[/mm] bewirkt,
> auch ohne es in irgendeiner Basis darzustellen.
Das ist mir schon klar, aber darum ging es nicht.
> Ist [mm]A[/mm] die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung [mm]\phi[/mm]
> (Bzgl. irgendwelcher Basen V,W), so kann man [mm]\phi(x,y)[/mm] also
> berechnen, indem man zunächst (x,y) in der Basis V
> darstellt (erhalte Koordinatenvektor (a,b)), dann [mm]A*(a,b)[/mm]
> berechnet und zuletzt das Ergebnis wieder mittels der
> Basisvektoren von W in einen Vektor umwandelt.
Ja, es ging um eine Abbildung, die durch eine Matrix gegeben ist und das mit den Basistransformationen ist mir auch klar.
> Wichtig ist hierbei folgendes: Man steckt in [mm]\phi[/mm] nicht die
> Koordinatenvektoren (a,b) rein (*) - das geht im
> Allgemeinen ja gar nicht, weil Koordinatenvektoren Elemente
> von [mm]\IR^n[/mm] sind, und somit gar nicht im zugrundeliegenden
> Urbildvektorraum der linearen Abbildung liegen müssen (der
> zugrundeliegende Urbildvektorraum kann ja z.B. auch der
> Raum der Polynome etc. sein).
>
> Wenn der zugrundeliegende Vektorraum aber [mm]\IR^n[/mm] ist, dann
> kommt man in das Dilemma, dass man nicht mehr ohne weiteres
> zwischen Koordinatenvektoren und Vektoren (Elemente des
> Vektorraums) unterscheiden kann.
> Nun ist es aber bei [mm]\IR^3[/mm] üblicherweise so, dass man
> Vektoren bzgl. der Standardbasis angibt - man meint ja mit
> [mm](x,y,z) = x*(1,0,0) + y*(0,1,0)+z*(0,0,1)[/mm]. Wenn also nichts
> dasteht - und das ist die einzige Nachlässigkeit - ist ein
> Vektor bzgl. Standardbasis gemeint.
>
> In diesem Sinne (also wegen (*)) ist a) die richtige
> Variante.
Ok, genau das war meine Frage. Ich bin da in Uni-Dingen nicht so versiert, für meinen Geschmack könnte man das auch angeben. Aber dann weiß ich jetzt Bescheid und laufe dementsprechend keine Gefahr, falsche Ratschläge zu erteilen bzw. weiterzuleiten.
Beste Grüße&schönen Abend,
Diophant
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