Konverenz uneigentl. Integale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die uneigentlichen Integralen [mm] \integral_{1}^{ \infty}{ \bruch{1}{( x^{13}-1)^{ \bruch{^1}{5}}}dx} [/mm] und [mm] \integral_{- \infty}^{ \infty}{sin x^{8} dx} [/mm] auf Konvergenz. |
Hallo ihrs,
inzwischen ist mir klar wie ich an die Aufgabe überhaupt ran gehen muss.
Beim ersten setze ich die obere Grenze gleich a, schreibe den Limes davor, integriere ganz normal, und gucke dann was passiert wenn a gegen unendlich geht.
Mein Problem liegt beim Integrieren, wie so oft. Klar ist, das ich die Substitution anwenden muss, und wahrscheinlich muss ich [mm] x^{13} [/mm] ersetzen, aber bei mir wird der Ausdruck immer viel komplizierter.
Könnt ihr mir bitte beim integrieren helfen?
Vielen Dank!
Viele Grüße,
Sara
Ps: Die zweite Aufgabe braucht ihr nicht angucken, die sollte ich hin bekommen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Do 04.05.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo zusammen,
ich hab das zweite Integral wohl zu voreilig als machbar eingestuft.
[mm] \integral_{- \infty}^{ \infty}{sin x^{8} dx}= \integral_{0}^{b}{sin x^{8} dx}+\integral_{a}^{0}{sin x^{8} dx}
[/mm]
Jetzt untersuche ich einzeln, ob das Integral existiert.
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{sin x^{8} dx}
[/mm]
subst.: t= [mm] x^{8} [/mm] --> dt=8 [mm] x^{7} [/mm] dx --> dx= [mm] \bruch{1}{8 x^{7}}dt
[/mm]
die neuen Grenzen sind dann 0 und [mm] b^{8}.
[/mm]
= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{sin t \bruch{1}{8 x^{7}} dt}
[/mm]
Und nun geht die wurschtelei los:
= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{sin t \bruch{1}{8 x^{8}} \bruch{1}{ x^{-1}}dt}
[/mm]
Jetzt habe ich t= [mm] x^{8} [/mm] nach x umgestellt, und eingesetzt:
= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{sin t \bruch{ \wurzel{t}}{8t}dt}
[/mm]
hier ist ein Fehler. Das muss natürlich die 8te Wurzel aus t sein. aber egal.
[mm] \bruch{ \wurzel{t}}{8t} [/mm] kann ich umformen zu [mm] \bruch{1}{8 \wurzel{t}}
[/mm]
jetzt heiß mein Integral:
= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{sin t \bruch{1}{8 \wurzel{t}}dt}
[/mm]
Aber das ist immernoch nicht einfacher.
Kann mir keiner sagen wie ich weitermachen soll oder ob das bisher den anschein hat richtig zu sein?
Es ist recht dringend.
Danke,
Sara
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Do 04.05.2006 | | Autor: | kampfsocke |
So, jetzt hab ich das nochmal partiell integriert, und es kommt (zumindest bei mir) der Integralcosinus raus.
Also ist die Funktion wohl nicht konvergent. Geht ja nicht wirklich zu integrieren.
Verdammter Mist.
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Hallo sara,
erstmal nur ein kleiner hinweis von mir: die integrale sehen für mich nicht so aus, als ob man da wirklich eine stammfunktion berechnen sollte.... ich habe sie mal beim wolfram integrator eingegeben und richtig hässliche ergebnisse bekommen.
Ich glaube, ihr sollt hier eher argumentieren, ob und warum diese integrale konvergieren oder halt nicht.
Allerdings muss ich zugeben, dass mir so auf den ersten blick auch dazu nicht besonders viel einfällt.... die zweite funktion ist achsensymmetrisch, du brauchst also nur den positiven bereich zu betrachten. da diese funktion für große x beliebig stark oszilliert, würde ich fast vermuten, dass das integral existiert , aber formal begründen kann ich es (noch) nicht.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Di 09.05.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo, danke das du dir die Aufgabe angesetehn hast.
Wir sollten tatsächlich nur bis zu einem besimmten Punkt integrieren (da bin ich doch tatsächlich auch angekommen) und dann das "Diricklet" Kriterium anwenden.
Jetzt weiß ich auch dass es das gibt.
Viele Grüße,
//Sara
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