Konvergent, Divergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:52 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe 1 | Sind folgende Reihe,
- konvergent
- divergent gegen unendlich
- divergent gegen - unendlich
- keines der 3
a) [mm] a_{1}= [/mm] -1 , [mm] a_{2} [/mm] = -4 [mm] a_{n-1}+a_{n-2} [/mm] für [mm] n\ge3 [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) [mm] a_{1} a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a_{n}}+1 [/mm] |
| Aufgabe 3 | | c) [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_{n}+4) [/mm] |
| Aufgabe 4 | | d) [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_{n}^2) [/mm] |
Hi zusammen,
hier sind die Folgen nicht gegeben sondern nur der Definition [mm] a_{n} [/mm] und jetzt habe ich keine Ahnung wie ich feststellen kann ob die Folge kon- oder divergieren.
Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich hier vorzugehen habe ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mo 02.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sind folgende Reihe,
Reihe oder Folge ???
> - konvergent
> - divergent gegen unendlich
> - divergent gegen - unendlich
> - keines der 3
>
> a) [mm]a_{1}=[/mm] -1 , [mm]a_{2}[/mm] = -4 [mm]a_{n-1}+a_{n-2}[/mm] für [mm]n\ge3[/mm]
Das soll wohl lauten:
[mm]a_n=a_{n-1}+a_{n-2}[/mm] für [mm]n\ge3[/mm]
> b) [mm]a_{1} a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{a_{n}}+1[/mm]
Was ist [mm] a_1 [/mm] ???
> c) [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(a_{n}+4)[/mm]
Was ist [mm] a_1 [/mm] ?
> d) [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(a_{n}^2)[/mm]
Was ist [mm] a_1 [/mm] ?
> Hi zusammen,
>
> hier sind die Folgen nicht gegeben sondern nur der
> Definition [mm]a_{n}[/mm] und jetzt habe ich keine Ahnung wie ich
> feststellen kann ob die Folge kon- oder divergieren.
>
> Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich hier vorzugehen
> habe ?
Ja, aber nicht bevor Du oben meine Fragen beantwortet hast.
Gib Dir ein wenig Mühe die Aufgabenstellung komplett anzugeben.
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Entschuldigung für die schlampige Fragestellung.
b) a1 = 1
c) a1 = 2
d) a1 = 1
Zu a) die Fragestellung ist genau so wie ich sie geschrieben habe.
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Hallo Bindl!
Zu Aufgabe (1). Das kann aber nicht "genau so wie Du es geschrieben hast" sein.
Damit das einen Sinn ergibt, muss es wohl lauten wie in Fred's Antwort.
Ansonsten gilt grundsätzlich bei derartig rekursiv definierten Folgen:
Um die Konvergenz zu zeigen, musst Du nachweisen, dass diese Folgen sowohl monoton als auch beschränkt sind.
Denn daraus folgt dann unmittelbar die Konvergenz.
Oder Du bestimmst Dir eine explizite Folgenvorschrift, beweist diese und bestimmts damit den Grenzwert.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:43 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
mit der Schreibweise der Aufgabe habt ihr Recht. Ich habe nochmal nachgeschaut.
Ich weiß immer noch nicht wirklich etwas anzufangen mit der Aufgabe.
Ich kenne doch die eigentlich Folge gar nicht, wie kann ich da sagen ob sie fällt oder steigt.
Kann mir vielleicht jemand einer der Aufgaben beispielhaft lösen?
Ich kann mir hier echt nichts drunter vorstellen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Habe gerade eine Erklärung gefunden und denke ich kann es vllt selbst lösen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Also b-d konnte ich soweit lösen. Mal sehen ob es richtig war was ich da so gemacht habe.
b) a1=1 [mm] a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}
[/mm]
1, [mm] \wurzel{1}+1, \wurzel{\wurzel{1}+1} [/mm] = 2 + [mm] \wurzel{1} [/mm] usw.
Also divergent gegen unendlich
c) a1= 2 [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_{n}+4)
[/mm]
2, [mm] \bruch{1}{2}(2+4)=5, \bruch{1}{2}(5+4)=6,5 [/mm] usw
also divergent gegen unendlich
d) a1=1 [mm] a_{n+1}= \bruch{1}{2}(a_{n})^2
[/mm]
1, [mm] \bruch{1}{2}(1^2)=0,5, \bruch{1}{2}(0,5)^2=0,125 [/mm] usw
also konvergent gegen 0
Nur bei a) komme ich nicht so wirklich dahinter wie ich das lösen kann.
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Hallo Bindl,
es reicht nie, anhand von ein paar Folgengliedern etwas nachweisen zu wollen. Das geht dann auch meistens schief. Ein Beweis ist etwas ganz anderes.
> Also b-d konnte ich soweit lösen. Mal sehen ob es richtig
> war was ich da so gemacht habe.
>
> b) a1=1 [mm]a_{n+1}=\wurzel{a_{n}+1}[/mm]
> 1, [mm]\wurzel{1}+1, \wurzel{\wurzel{1}+1}[/mm] = 2 + [mm]\wurzel{1}[/mm]
> usw.
> Also divergent gegen unendlich
Nein, diese Folge ist konvergent gegen [mm] \bruch{\wurzel{5}+1}{2}.
[/mm]
> c) a1= 2 [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(a_{n}+4)[/mm]
> 2, [mm]\bruch{1}{2}(2+4)=5, \bruch{1}{2}(5+4)=6,5[/mm] usw
> also divergent gegen unendlich
Auch falsch. Konvergent gegen 4.
> d) a1=1 [mm]a_{n+1}= \bruch{1}{2}(a_{n})^2[/mm]
> 1,
> [mm]\bruch{1}{2}(1^2)=0,5, \bruch{1}{2}(0,5)^2=0,125[/mm] usw
> also konvergent gegen 0
Stimmt, aber das hast Du damit noch nicht gezeigt!!
> Nur bei a) komme ich nicht so wirklich dahinter wie ich das
> lösen kann.
Das ist eine Fibonaccifolge. Die konvergieren nie. Zeigen musst Du es trotzdem noch.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Danke für die Hilfe.
Bekomme das ganze morge in der Uni genauer erklärt.
Komme jetzt einfach nicht so richtig auf die Lösung.
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Hallo Bindl!
Zu Aufgabe b.) kannst Du Dir mal dies hier durchlesen.
Gruß vom
Roadrunner
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