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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Fr 03.11.2006 | | Autor: | juerci |
| Aufgabe | Man zeige, dass für jedes a>1 und k>o
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{a^{n}}{n^{k}}=\infty
[/mm]
gilt!
Hinweis: Man setze [mm] a=1+\lambda [/mm] und schätze [mm] a^{n} [/mm] mit dem
Binomischen Lehrsatz ab |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, studiere gerade im ersten Semester technische Mathematik und komme bei diesem Beispiel nicht weiter. Würde mich echt freun, wenn mir jemand helfen könnte!
Mit freundlichen Grüßen J.R.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Fr 03.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo juerci
Bevor wir uns Arbeit machen: Was hast du mit dem Hinweis gemacht? wo bist du steckengeblieben?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Fr 03.11.2006 | | Autor: | juerci |
Ich habe den Binomischen Lehrsatz angewendet, das einzige gute war das [mm] \lambda [/mm] weggefallen ist, aber ich komm dabei einfach auf keinen grünen Zweig, ich denke ich denke dabei viel zu kompliziert!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Fr 03.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo juerci,
ich meine, das $k$ dient nur als Blendwerk. Ausgeschrieben heisst die
Behauptung, dass fuer eine gegebene Oberschranke $M>0$ gilt [mm] $a^n>M n^k$
[/mm]
fuer hinreichend grosse $n$. Dies ist aequivalent mit $( [mm] a^{1/k} )^n>M^{1/k}n$.
[/mm]
Setzt man [mm] $b=a^{1/k}$, [/mm] so reicht es zu zeigen, dass [mm] $b^n/n$ [/mm] ueber alle
Grenzen waechst. Arbeitet man jetzt mit dem Tipp, so koennte es
klappen: [mm] $b^n/n$ [/mm] ist dann von der Form
[mm] $\sum_{i=0}^n{n \choose i}\lambda^i/n$. [/mm] Ist [mm] $\lambda\ge [/mm] 1$, so ist die
Divergenz sofort da. Uebrig bleibt der Fall [mm] $0<\lambda<1$. [/mm] Ich habe mir
das noch nicht bis zum Schluss ueberlegt, aber ich meine, dass fuer
hinreichend grosses $n$ die Summanden ${n [mm] \choose i}\lambda^i/n$ [/mm] ueber
alle Grenzen wachsen, da die Binomialkoeffizienten viel schneller gegen
Unendlich gehen als [mm] $\lambda^i$ [/mm] gegen Null.
Vielleicht hilft's dir ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Fr 03.11.2006 | | Autor: | juerci |
Danke, jetzt bin ich schon einen Schritt weiter. Bis zum Binomialkoeffizienten klingt eh alles recht verständlich.
würde es nicht auch schon ausreichen, wenn ich sage [mm] b^{n} [/mm] > n
und deswegen geht [mm] \bruch{b^{n}}{n} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] und ist deswegen auch divergent?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Fr 03.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Leider nicht, denn [mm] $b^n>n$ [/mm] heisst nur, dass [mm] $b^n/n>1$, [/mm]
und damit lese ich die Divergenz nicht ab.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Fr 03.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> würde es nicht auch schon ausreichen, wenn ich sage [mm]b^{n}[/mm] >
> n
> und deswegen geht [mm]\bruch{b^{n}}{n}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] und ist
> deswegen auch divergent?
Nein [mm] b^n>n [/mm] kann zBsp auch noch beinhalten [mm] b^n<2n [/mm] oder [mm] b^n
damit [mm] a^n/n^k [/mm] divergiert musst du irgendwie zeigen dass se zu JEDER Zahl N, ein n0 gibt, so dass für alle n>n0 gilt [mm] a^n/n^k [/mm] >N
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Sa 04.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Ich mag mich täuschen, aber kann man fuer den Rest nicht so argumetieren:
Betrachte
$ [mm] \sum_{i=0}^n{n \choose i}\lambda^i/n=1/n +\lambda+(n-1)\lambda/2+... [/mm] $
Alle Summanden sind positiv, und allein der Summand [mm] $(n-1)\lambda/2$
[/mm]
waechst fuer [mm] $n\to\infty$ [/mm] ueber alle Grenzen. Beachte, dass [mm] $\lambda$
[/mm]
fest ist.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Sa 04.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo luis
Du hast recht!
Gruss leduart
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