Konvergente Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Ernesto |
habe Probleme folgendes zu Beweisen
Gegeben sei eine konvergente Folge (an) m [mm] \in [/mm] N, deren Elemente an ganze Zahlen
sind. Zeige, das die Menge (an : [mm] n\in [/mm] N ) endlich ist . Gilt auch djie Umkehrung ???
Die argumentation der Konvergenz ist doch das eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert wenn es einen N gibt ab dem alle Folgenglieder in dieser Umgebung liegen
kann man das darauf anwenden
Gruß Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Ernesto!
Die Folge der [mm] $a_n$ [/mm] konvergiert genau dann gegen $a$, wenn es zu jedem [mm] $\epsilon\in \IR^+$ [/mm] ein [mm] $n_\epsilon\in \IN$ [/mm] so gibt, dass [mm] $|a_n-a|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\geq N_\epsilon$. [/mm] Nun wähle [mm] $\epsilon$ [/mm] einfach so, dass die [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von $a$ nur eine einzige ganze Zahl, sagen wir $b$, beinhaltet. Dann ist [mm] $a_n=b$ [/mm] für alle [mm] $\IN\ni n\geq N_\epsilon$ [/mm] und insbesondere [mm] $\{a_n|n\in\IN\}=\{a_n|n\in \{1,2,...,N_\epsilon-1\}\}\cup \{b\}$, [/mm] also endlich.
Die Umkehrung gilt keinesfalls, nimm z.B. [mm] $((-1)^n)_{n\in \IN}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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