Konvergente Folge - seltsame Definition < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:35 Di 11.05.2004 | | Autor: | baddi |
Puhh.. also ich habe gerade eine verwirrende Vorlesung hinter mir... bin total verspannt und habe ab der Mitte nix mehr geblickt.
Anschaulich ein supereinfaches Thema. Folgen.
Leider haben wir kein Script und ich kann nicht mitschreiben (solche Menschen gibts auch). So habe ich hier eben wieder ein Buch vor mir.
Es heist dort:
Eine Folge heist konvergent gegen a element R, falls gilt:
Zu jedem e > 0 existiert ein N element N, so dass
|an - a| < e für alle n>= N.
Bei |an - a| soll das n der index sein.
Warum sagt man nicht einfach das a obere oder untere Grenze ? Das ist doch viel einfacher als so eine unverständliche Definition.. von der man nur Kopfschmerzen bekommt, wenn man Sie nicht schon hat.
Puhh.
Schrecklich dem Redefluss eines Dozenten ausgeliefert zu sein, für den immer alles klar ist und der die Schreibweise für folgen alle 5 Minuten nach Lust und Laune verändert. Einmal mit Klammern einmal mit Index einmal ohne. Verwirrend. Und das man ein N aus N wählt finde ich auch verwirrend.
Und keine Anschaulichkeit... nie wirde mal was gezeichnet oder so.
Oh Gott. Wenn ich noch irgendwie einen Übungszettel auftreiben kann (ich konnte bei der Ausgabe nicht da sein) habe ich bestimmt keine Idee wie ich die Aufgaben lösen soll.
Sorry hab euch nur vollgejammert.
Schönen Tag noch Sebastian
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Di 11.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi!
> Es heist dort:
> Eine Folge heist konvergent gegen a element R, falls
> gilt:
> Zu jedem e > 0 existiert ein N element N, so dass
> |an - a| < e für alle n>= N.
>
> Bei |an - a| soll das n der index sein.
>
> Warum sagt man nicht einfach das a obere oder untere Grenze
> ? Das ist doch viel einfacher als so eine unverständliche
> Definition.. von der man nur Kopfschmerzen bekommt, wenn
> man Sie nicht schon hat.
Das sagt man deswegen nicht, weil es nicht stimmt 
Zum Beispiel diese Folge hier: [mm] $a_n=(-1)^n*\bruch{1}{n}$. [/mm] Sie hat als Grenzwert 0, die 0 ist aber weder obere noch untere Grenze.
Du denkst wahrscheinlich speziell an eine monoton wachsende Folge, die eine obere Schranke hat -- dort ist die obere Grenze dann auch der Grenzwert.
> Schrecklich dem Redefluss eines Dozenten ausgeliefert zu
> sein, für den immer alles klar ist und der die Schreibweise
> für folgen alle 5 Minuten nach Lust und Laune verändert.
> Einmal mit Klammern einmal mit Index einmal ohne.
> Verwirrend. Und das man ein N aus N wählt finde ich auch
> verwirrend.
> Und keine Anschaulichkeit... nie wirde mal was gezeichnet
> oder so.
Ich versuche mal eine "anschaulichere" Definition.
Dazu benutze ich den Begriff der "Umgebung" eines Punktes $a$; in [mm] $\IR$ [/mm] ist das bzw. kann man sich einfach vorstellen als offenes Intervall, in dem der Punkt $a$ enthalten ist. So ist z.B. das offene Intervall (1,3) eine Umgebung für die 2, aber auch (1.5,2.5) ist eine Umgebung etc.
Nun zu den Folgen und ihrem Grenzwert.
Eine Zahl $a$ ist Grenzwert einer Folge, wenn für jede Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder in dieser Umgebung landen. Mit "fast alle" ist gemeint: "alle, bis auf endlich viele".
Salopper könnte man sagen, dass letztendlich alle Folgenglieder in einer Umgebung von $a$ landen, egal, wie klein diese Umgebung gewählt wird.
Oder andersherum formuliert: Für jede Umgebung von $a$ liegen nur endlich viele Folgenglieder außerhalb dieser Umgebung.
Das mußt du jetzt ein paar Mal gedanklich durchspielen, und du wirst sehen, dass die Definition in der Vorlesung, die du oben angegeben hast, genau dasselbe bedeutet: [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon$ [/mm] definiert nämlich das offene Intervall [mm] $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$, [/mm] in dessen Mitte die Zahl $a$ liegt. Das $N$ gibt an, wie viele Folgenglieder außerhalb dieses Intervalls liegen, oder mit anderen Worten: Ab welchem Folgenglied alle weiteren Folgenglied innerhalb dieses Intervalls liegen. Findet man für jedes Intervall eine solche Zahl $N$, dann ist $a$ der Grenzwert.
Ich lasse diese Frage auch auf teilweise unbeantwortet, vielleicht findet jemand anderes ja noch andere Beschreibungen/Veranschaulichungen für Folgengrenzwerte.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
dieses Skript