Konvergente Reihe mit Fakultät < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Sa 10.01.2009 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)!} [/mm] konvergent ist. |
Hallo,
hier habe ich das Quotientenkriterium gewählt, also:
Sei [mm] a_n=\bruch{(n!)^2}{(2n)!}, [/mm] dann ist [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=\bruch{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}\bruch{(2n)!}{(n!)^2}=\bruch{(n!(n+1))^2(2n)!}{(2n+2)!(n!)^2}=\bruch{(n!)^2(n+1)^2(2n)!}{(2n+2)!(n!)^2}=\bruch{(n+1)^2(2n)!}{(2n+2)!}, [/mm] aber jetzt hänge ich fest, wie kann ich die Fakultäten weiter aufspalten, so dass ich auf eine Konvergenz komme?
Vielen Dank für die Hilfe, Gruß, Stefan
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Hallo Stefan,
> Beweisen Sie, dass die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n!)^2}{(2n)!}[/mm] konvergent ist.
> Hallo,
>
> hier habe ich das Quotientenkriterium gewählt, also:
> Sei [mm]a_n=\bruch{(n!)^2}{(2n)!},[/mm] dann ist
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=\bruch{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}\bruch{(2n)!}{(n!)^2}=\bruch{(n!(n+1))^2(2n)!}{(2n+2)!(n!)^2}=\bruch{(n!)^2(n+1)^2(2n)!}{(2n+2)!(n!)^2}=\bruch{(n+1)^2(2n)!}{(2n+2)!},[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gut bis hierhin!
> aber jetzt hänge ich fest, wie kann ich die Fakultäten
> weiter aufspalten, so dass ich auf eine Konvergenz komme?
Du hast es ja schon gemacht, oben hast du $(n+1)!$ geschrieben als [mm] $(n+1)\cdot{}n!$
[/mm]
Das kannst du doch mit $(2n+2)!$ genauso machen
[mm] $(2n+2)!=(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}\underbrace{(2n)\cdot{}(2n-1)\cdot{}(2n-2)\cdot{}.....\cdot{}3\cdot{}2\cdot{}1}_{=(2n)!}$
[/mm]
>
> Vielen Dank für die Hilfe, Gruß, Stefan
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Sa 10.01.2009 | | Autor: | stefan00 |
Hallo schachuzipus,
> Du hast es ja schon gemacht, oben hast du [mm](n+1)![/mm]
> geschrieben als [mm](n+1)\cdot{}n![/mm]
> Das kannst du doch mit [mm](2n+2)![/mm] genauso machen
> [mm](2n+2)!=(2n+2)\cdot{}(2n+1)\cdot{}\underbrace{(2n)\cdot{}(2n-1)\cdot{}(2n-2)\cdot{}.....\cdot{}3\cdot{}2\cdot{}1}_{=(2n)!}[/mm]
>
ja, natürlich, klar, genauso wie [mm](n+2)!=n!\cdot(n+2)\cdot(n+1)[/mm] ist.
Jetzt hab ichs, vielen Dank!
Gruß, Stefan.
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